Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82619 / 20098
↖ ↑ ↗
← N 77.077555°
E 46.919861°		 ← 68.29 m → N 77.077555°
E 46.922607°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.076941°
E 46.919861°		 ← 68.29 m →
4 664 m²		 N 77.076941°
E 46.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630336761474609 y=0.153339385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630336761474609 × 217)
    floor (0.630336761474609 × 131072)
    floor (82619.5)     		tx = 82619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153339385986328 × 217)
    floor (0.153339385986328 × 131072)
    floor (20098.5)     		ty = 20098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82619 / 20098 ti = "17/82619/20098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82619/20098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82619 ÷ 217
    82619 ÷ 131072     		x = 0.630332946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20098 ÷ 217
    20098 ÷ 131072     		y = 0.153335571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630332946777344 × 2 - 1) × π
    0.260665893554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81890606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153335571289062 × 2 - 1) × π
    0.693328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17815684493611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81890606} λ = 0.81890606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17815684493611))-π/2
    2×atan(8.83001616174253)-π/2
    2×1.45802672488075-π/2
    2.91605344976149-1.57079632675     		φ = 1.34525712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81890606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.919861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34525712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.077555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82619 KachelY 20098 0.81890606 1.34525712 46.919861 77.077555
    Oben rechts KachelX + 1 82620 KachelY 20098 0.81895399 1.34525712 46.922607 77.077555
    Unten links KachelX 82619 KachelY + 1 20099 0.81890606 1.34524640 46.919861 77.076941
    Unten rechts KachelX + 1 82620 KachelY + 1 20099 0.81895399 1.34524640 46.922607 77.076941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34525712-1.34524640) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dl = 68.2971200008322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34525712-1.34524640) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dr = 68.2971200008322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.34525712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223631945279019 × 6371000     		do = 68.2887047832918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.34524640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223642393767856 × 6371000     		du = 68.2918953550538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34525712)-sin(1.34524640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223631945279019-0.223642393767856)×R²
    abs(0.81895399-0.81890606)×1.04484888379663e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04484888379663e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04484888379663e-05×40589641000000     		ar = 4664.03081882512m²