Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82619 / 16078
↖ ↑ ↗
← N 79.328101°
E 46.919861°		 ← 56.55 m → N 79.328101°
E 46.922607°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.327592°
E 46.919861°		 ← 56.55 m →
3 199 m²		 N 79.327592°
E 46.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630336761474609 y=0.122669219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630336761474609 × 217)
    floor (0.630336761474609 × 131072)
    floor (82619.5)     		tx = 82619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122669219970703 × 217)
    floor (0.122669219970703 × 131072)
    floor (16078.5)     		ty = 16078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82619 / 16078 ti = "17/82619/16078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82619/16078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82619 ÷ 217
    82619 ÷ 131072     		x = 0.630332946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16078 ÷ 217
    16078 ÷ 131072     		y = 0.122665405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630332946777344 × 2 - 1) × π
    0.260665893554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81890606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122665405273438 × 2 - 1) × π
    0.754669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37086318140874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81890606} λ = 0.81890606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37086318140874))-π/2
    2×atan(10.7066300606176)-π/2
    2×1.47766643787636-π/2
    2.95533287575271-1.57079632675     		φ = 1.38453655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81890606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.919861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38453655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.328101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82619 KachelY 16078 0.81890606 1.38453655 46.919861 79.328101
    Oben rechts KachelX + 1 82620 KachelY 16078 0.81895399 1.38453655 46.922607 79.328101
    Unten links KachelX 82619 KachelY + 1 16079 0.81890606 1.38452767 46.919861 79.327592
    Unten rechts KachelX + 1 82620 KachelY + 1 16079 0.81895399 1.38452767 46.922607 79.327592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38453655-1.38452767) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38453655-1.38452767) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.38453655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185184667514904 × 6371000     		do = 56.5483659972608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.38452767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185193393916806 × 6371000     		du = 56.5510307090603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38453655)-sin(1.38452767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185184667514904-0.185193393916806)×R²
    abs(0.81895399-0.81890606)×8.72640190210938e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72640190210938e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72640190210938e-06×40589641000000     		ar = 3199.26977846175m²