Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82618 / 20166
↖ ↑ ↗
← N 77.035722°
E 46.917114°		 ← 68.52 m → N 77.035722°
E 46.919861°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.035105°
E 46.917114°		 ← 68.52 m →
4 697 m²		 N 77.035105°
E 46.919861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630329132080078 y=0.153858184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630329132080078 × 217)
    floor (0.630329132080078 × 131072)
    floor (82618.5)     		tx = 82618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153858184814453 × 217)
    floor (0.153858184814453 × 131072)
    floor (20166.5)     		ty = 20166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82618 / 20166 ti = "17/82618/20166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82618/20166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82618 ÷ 217
    82618 ÷ 131072     		x = 0.630325317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20166 ÷ 217
    20166 ÷ 131072     		y = 0.153854370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630325317382812 × 2 - 1) × π
    0.260650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81885812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153854370117188 × 2 - 1) × π
    0.692291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17489713576195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81885812} λ = 0.81885812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17489713576195))-π/2
    2×atan(8.80127973868841)-π/2
    2×1.45766165773605-π/2
    2.91532331547209-1.57079632675     		φ = 1.34452699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81885812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34452699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.035722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82618 KachelY 20166 0.81885812 1.34452699 46.917114 77.035722
    Oben rechts KachelX + 1 82619 KachelY 20166 0.81890606 1.34452699 46.919861 77.035722
    Unten links KachelX 82618 KachelY + 1 20167 0.81885812 1.34451623 46.917114 77.035105
    Unten rechts KachelX + 1 82619 KachelY + 1 20167 0.81890606 1.34451623 46.919861 77.035105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34452699-1.34451623) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34452699-1.34451623) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81885812-0.81890606) × cos(1.34452699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224343524090791 × 6371000     		do = 68.5202868595927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81885812-0.81890606) × cos(1.34451623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224354009806746 × 6371000     		du = 68.5234894671476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34452699)-sin(1.34451623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224343524090791-0.224354009806746)×R²
    abs(0.81890606-0.81885812)×1.0485715955022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0485715955022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0485715955022e-05×40589641000000     		ar = 4697.30973651237m²