Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82616 / 20088
↖ ↑ ↗
← N 77.083696°
E 46.911621°		 ← 68.26 m → N 77.083696°
E 46.914368°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.083082°
E 46.911621°		 ← 68.26 m →
4 662 m²		 N 77.083082°
E 46.914368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630313873291016 y=0.153263092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630313873291016 × 217)
    floor (0.630313873291016 × 131072)
    floor (82616.5)     		tx = 82616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153263092041016 × 217)
    floor (0.153263092041016 × 131072)
    floor (20088.5)     		ty = 20088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82616 / 20088 ti = "17/82616/20088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82616/20088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82616 ÷ 217
    82616 ÷ 131072     		x = 0.63031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20088 ÷ 217
    20088 ÷ 131072     		y = 0.15325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63031005859375 × 2 - 1) × π
    0.2606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81876225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15325927734375 × 2 - 1) × π
    0.6934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17863621393231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81876225} λ = 0.81876225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17863621393231))-π/2
    2×atan(8.83425001243372)-π/2
    2×1.45808031347048-π/2
    2.91616062694097-1.57079632675     		φ = 1.34536430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81876225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.911621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34536430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.083696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82616 KachelY 20088 0.81876225 1.34536430 46.911621 77.083696
    Oben rechts KachelX + 1 82617 KachelY 20088 0.81881018 1.34536430 46.914368 77.083696
    Unten links KachelX 82616 KachelY + 1 20089 0.81876225 1.34535358 46.911621 77.083082
    Unten rechts KachelX + 1 82617 KachelY + 1 20089 0.81881018 1.34535358 46.914368 77.083082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34536430-1.34535358) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dl = 68.2971199994176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34536430-1.34535358) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dr = 68.2971199994176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81876225-0.81881018) × cos(1.34536430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223527478471323 × 6371000     		do = 68.2568045868262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81876225-0.81881018) × cos(1.34535358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223537927217053 × 6371000     		du = 68.2599952370333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34536430)-sin(1.34535358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223527478471323-0.223537927217053)×R²
    abs(0.81881018-0.81876225)×1.04487457300295e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04487457300295e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04487457300295e-05×40589641000000     		ar = 4661.85212985756m²