Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82615 / 14658
↖ ↑ ↗
← N 80.026704°
E 46.908875°		 ← 52.90 m → N 80.026704°
E 46.911621°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.026228°
E 46.908875°		 ← 52.90 m →
2 797 m²		 N 80.026228°
E 46.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630306243896484 y=0.111835479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630306243896484 × 217)
    floor (0.630306243896484 × 131072)
    floor (82615.5)     		tx = 82615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111835479736328 × 217)
    floor (0.111835479736328 × 131072)
    floor (14658.5)     		ty = 14658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82615 / 14658 ti = "17/82615/14658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82615/14658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82615 ÷ 217
    82615 ÷ 131072     		x = 0.630302429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14658 ÷ 217
    14658 ÷ 131072     		y = 0.111831665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630302429199219 × 2 - 1) × π
    0.260604858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81871431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111831665039062 × 2 - 1) × π
    0.776336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43893357886922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81871431} λ = 0.81871431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43893357886922))-π/2
    2×atan(11.4608121712748)-π/2
    2×1.48376289758912-π/2
    2.96752579517824-1.57079632675     		φ = 1.39672947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81871431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.908875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39672947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.026704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82615 KachelY 14658 0.81871431 1.39672947 46.908875 80.026704
    Oben rechts KachelX + 1 82616 KachelY 14658 0.81876225 1.39672947 46.911621 80.026704
    Unten links KachelX 82615 KachelY + 1 14659 0.81871431 1.39672117 46.908875 80.026228
    Unten rechts KachelX + 1 82616 KachelY + 1 14659 0.81876225 1.39672117 46.911621 80.026228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39672947-1.39672117) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39672947-1.39672117) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81871431-0.81876225) × cos(1.39672947) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173189171045419 × 6371000     		do = 52.8964307266214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81871431-0.81876225) × cos(1.39672117) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.17319734561465 × 6371000     		du = 52.8989274504781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39672947)-sin(1.39672117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173189171045419-0.17319734561465)×R²
    abs(0.81876225-0.81871431)×8.17456923160598e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.17456923160598e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.17456923160598e-06×40589641000000     		ar = 2797.1922418145m²