Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82613 / 15769
↖ ↑ ↗
← N 79.484128°
E 46.903381°		 ← 55.74 m → N 79.484128°
E 46.906128°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.483626°
E 46.903381°		 ← 55.75 m →
3 108 m²		 N 79.483626°
E 46.906128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630290985107422 y=0.120311737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630290985107422 × 217)
    floor (0.630290985107422 × 131072)
    floor (82613.5)     		tx = 82613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120311737060547 × 217)
    floor (0.120311737060547 × 131072)
    floor (15769.5)     		ty = 15769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82613 / 15769 ti = "17/82613/15769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82613/15769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82613 ÷ 217
    82613 ÷ 131072     		x = 0.630287170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15769 ÷ 217
    15769 ÷ 131072     		y = 0.120307922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630287170410156 × 2 - 1) × π
    0.260574340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81861843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120307922363281 × 2 - 1) × π
    0.759384155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.38567568339133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81861843} λ = 0.81861843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38567568339133))-π/2
    2×atan(10.866402432609)-π/2
    2×1.47902802642188-π/2
    2.95805605284375-1.57079632675     		φ = 1.38725973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81861843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.903381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38725973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.484128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82613 KachelY 15769 0.81861843 1.38725973 46.903381 79.484128
    Oben rechts KachelX + 1 82614 KachelY 15769 0.81866637 1.38725973 46.906128 79.484128
    Unten links KachelX 82613 KachelY + 1 15770 0.81861843 1.38725098 46.903381 79.483626
    Unten rechts KachelX + 1 82614 KachelY + 1 15770 0.81866637 1.38725098 46.906128 79.483626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38725973-1.38725098) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dl = 55.7462500007189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38725973-1.38725098) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dr = 55.7462500007189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81861843-0.81866637) × cos(1.38725973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182507905016652 × 6371000     		do = 55.742611945524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81861843-0.81866637) × cos(1.38725098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182516508048042 × 6371000     		du = 55.7452395327528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38725973)-sin(1.38725098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182507905016652-0.182516508048042)×R²
    abs(0.81866637-0.81861843)×8.60303139069152e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60303139069152e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60303139069152e-06×40589641000000     		ar = 3107.51482017737m²