Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82612 / 20109
↖ ↑ ↗
← N 77.070797°
E 46.900635°		 ← 68.32 m → N 77.070797°
E 46.903381°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.070183°
E 46.900635°		 ← 68.33 m →
4 671 m²		 N 77.070183°
E 46.903381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630283355712891 y=0.153423309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630283355712891 × 217)
    floor (0.630283355712891 × 131072)
    floor (82612.5)     		tx = 82612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153423309326172 × 217)
    floor (0.153423309326172 × 131072)
    floor (20109.5)     		ty = 20109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82612 / 20109 ti = "17/82612/20109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82612/20109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82612 ÷ 217
    82612 ÷ 131072     		x = 0.630279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20109 ÷ 217
    20109 ÷ 131072     		y = 0.153419494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630279541015625 × 2 - 1) × π
    0.26055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81857050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153419494628906 × 2 - 1) × π
    0.693161010742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.17762953904029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81857050} λ = 0.81857050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17762953904029))-π/2
    2×atan(8.82536126954416)-π/2
    2×1.45796774850583-π/2
    2.91593549701167-1.57079632675     		φ = 1.34513917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81857050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34513917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.070797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82612 KachelY 20109 0.81857050 1.34513917 46.900635 77.070797
    Oben rechts KachelX + 1 82613 KachelY 20109 0.81861843 1.34513917 46.903381 77.070797
    Unten links KachelX 82612 KachelY + 1 20110 0.81857050 1.34512844 46.900635 77.070183
    Unten rechts KachelX + 1 82613 KachelY + 1 20110 0.81861843 1.34512844 46.903381 77.070183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34513917-1.34512844) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dl = 68.3608299990304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34513917-1.34512844) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dr = 68.3608299990304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81857050-0.81861843) × cos(1.34513917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223746906481921 × 6371000     		do = 68.3238095695813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81857050-0.81861843) × cos(1.34512844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223757364434362 × 6371000     		du = 68.3270030311685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34513917)-sin(1.34512844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223746906481921-0.223757364434362)×R²
    abs(0.81861843-0.81857050)×1.04579524415893e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04579524415893e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04579524415893e-05×40589641000000     		ar = 4670.78148458499m²