Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82611 / 20107
↖ ↑ ↗
← N 77.072026°
E 46.897888°		 ← 68.33 m → N 77.072026°
E 46.900635°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.071412°
E 46.897888°		 ← 68.33 m →
4 667 m²		 N 77.071412°
E 46.900635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630275726318359 y=0.153408050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630275726318359 × 217)
    floor (0.630275726318359 × 131072)
    floor (82611.5)     		tx = 82611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153408050537109 × 217)
    floor (0.153408050537109 × 131072)
    floor (20107.5)     		ty = 20107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82611 / 20107 ti = "17/82611/20107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82611/20107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82611 ÷ 217
    82611 ÷ 131072     		x = 0.630271911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20107 ÷ 217
    20107 ÷ 131072     		y = 0.153404235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630271911621094 × 2 - 1) × π
    0.260543823242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81852256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153404235839844 × 2 - 1) × π
    0.693191528320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17772541283953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81852256} λ = 0.81852256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17772541283953))-π/2
    2×atan(8.82620743102045)-π/2
    2×1.45797847373771-π/2
    2.91595694747543-1.57079632675     		φ = 1.34516062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81852256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.897888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34516062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.072026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82611 KachelY 20107 0.81852256 1.34516062 46.897888 77.072026
    Oben rechts KachelX + 1 82612 KachelY 20107 0.81857050 1.34516062 46.900635 77.072026
    Unten links KachelX 82611 KachelY + 1 20108 0.81852256 1.34514990 46.897888 77.071412
    Unten rechts KachelX + 1 82612 KachelY + 1 20108 0.81857050 1.34514990 46.900635 77.071412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34516062-1.34514990) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dl = 68.2971199994176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34516062-1.34514990) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dr = 68.2971199994176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81852256-0.81857050) × cos(1.34516062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223726000246277 × 6371000     		do = 68.3316791824146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81852256-0.81857050) × cos(1.34514990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223736448503718 × 6371000     		du = 68.3348703491752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34516062)-sin(1.34514990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223726000246277-0.223736448503718)×R²
    abs(0.81857050-0.81852256)×1.04482574408982e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04482574408982e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04482574408982e-05×40589641000000     		ar = 4666.96586665223m²