Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8261 / 9525
↖ ↑ ↗
← S 28.091366°
E  1.516113°		 ← 2 155.40 m → S 28.091366°
E  1.538086°		 →
↑
2 155.25 m
↓
↑
2 155.25 m
↓
S 28.110749°
E  1.516113°		 ← 2 155.01 m →
4 644 994 m²		 S 28.110749°
E  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504241943359375 y=0.581390380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504241943359375 × 214)
    floor (0.504241943359375 × 16384)
    floor (8261.5)     		tx = 8261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581390380859375 × 214)
    floor (0.581390380859375 × 16384)
    floor (9525.5)     		ty = 9525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8261 / 9525 ti = "14/8261/9525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8261/9525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8261 ÷ 214
    8261 ÷ 16384     		x = 0.50421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9525 ÷ 214
    9525 ÷ 16384     		y = 0.58135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50421142578125 × 2 - 1) × π
    0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.511199097548279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02646117} λ = 0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511199097548279))-π/2
    2×atan(0.599775957570218)-π/2
    2×0.54025474690676-π/2
    1.08050949381352-1.57079632675     		φ = -0.49028683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49028683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.091366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8261 KachelY 9525 0.02646117 -0.49028683 1.516113 -28.091366
    Oben rechts KachelX + 1 8262 KachelY 9525 0.02684466 -0.49028683 1.538086 -28.091366
    Unten links KachelX 8261 KachelY + 1 9526 0.02646117 -0.49062512 1.516113 -28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 8262 KachelY + 1 9526 0.02684466 -0.49062512 1.538086 -28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49028683--0.49062512) × R
    0.000338290000000019 × 6371000     		dl = 2155.24559000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49028683--0.49062512) × R
    0.000338290000000019 × 6371000     		dr = 2155.24559000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02646117-0.02684466) × cos(-0.49028683) × R
    0.00038349 × 0.882197832693067 × 6371000     		do = 2155.39879254165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02646117-0.02684466) × cos(-0.49062512) × R
    0.00038349 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 2155.0094806412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49028683)-sin(-0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882197832693067-0.882038488577257)×R²
    abs(0.02684466-0.02646117)×0.000159344115810534×R²
    0.00038349×0.000159344115810534×6371000²
    0.00038349×0.000159344115810534×40589641000000     		ar = 4644994.25523708m²