Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8261 / 9499
↖ ↑ ↗
← S 27.586198°
E  1.516113°		 ← 2 165.46 m → S 27.586198°
E  1.538086°		 →
↑
2 165.31 m
↓
↑
2 165.31 m
↓
S 27.605671°
E  1.516113°		 ← 2 165.07 m →
4 688 476 m²		 S 27.605671°
E  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504241943359375 y=0.579803466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504241943359375 × 214)
    floor (0.504241943359375 × 16384)
    floor (8261.5)     		tx = 8261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579803466796875 × 214)
    floor (0.579803466796875 × 16384)
    floor (9499.5)     		ty = 9499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8261 / 9499 ti = "14/8261/9499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8261/9499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8261 ÷ 214
    8261 ÷ 16384     		x = 0.50421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9499 ÷ 214
    9499 ÷ 16384     		y = 0.57977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50421142578125 × 2 - 1) × π
    0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57977294921875 × 2 - 1) × π
    -0.1595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501228222427307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02646117} λ = 0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501228222427307))-π/2
    2×atan(0.605786162451233)-π/2
    2×0.544663173042126-π/2
    1.08932634608425-1.57079632675     		φ = -0.48146998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48146998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.586198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8261 KachelY 9499 0.02646117 -0.48146998 1.516113 -27.586198
    Oben rechts KachelX + 1 8262 KachelY 9499 0.02684466 -0.48146998 1.538086 -27.586198
    Unten links KachelX 8261 KachelY + 1 9500 0.02646117 -0.48180985 1.516113 -27.605671
    Unten rechts KachelX + 1 8262 KachelY + 1 9500 0.02684466 -0.48180985 1.538086 -27.605671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48146998--0.48180985) × R
    0.000339869999999964 × 6371000     		dl = 2165.31176999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48146998--0.48180985) × R
    0.000339869999999964 × 6371000     		dr = 2165.31176999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02646117-0.02684466) × cos(-0.48146998) × R
    0.00038349 × 0.886315158543873 × 6371000     		do = 2165.45830395559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02646117-0.02684466) × cos(-0.48180985) × R
    0.00038349 × 0.886157719493861 × 6371000     		du = 2165.07364654007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48146998)-sin(-0.48180985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886315158543873-0.886157719493861)×R²
    abs(0.02684466-0.02646117)×0.000157439050011643×R²
    0.00038349×0.000157439050011643×6371000²
    0.00038349×0.000157439050011643×40589641000000     		ar = 4688475.94651488m²