Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82609 / 17551
↖ ↑ ↗
← N 78.552314°
E 46.892395°		 ← 60.61 m → N 78.552314°
E 46.895141°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.551769°
E 46.892395°		 ← 60.61 m →
3 672 m²		 N 78.551769°
E 46.895141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630260467529297 y=0.133907318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630260467529297 × 217)
    floor (0.630260467529297 × 131072)
    floor (82609.5)     		tx = 82609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133907318115234 × 217)
    floor (0.133907318115234 × 131072)
    floor (17551.5)     		ty = 17551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82609 / 17551 ti = "17/82609/17551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82609/17551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82609 ÷ 217
    82609 ÷ 131072     		x = 0.630256652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17551 ÷ 217
    17551 ÷ 131072     		y = 0.133903503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630256652832031 × 2 - 1) × π
    0.260513305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81842669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133903503417969 × 2 - 1) × π
    0.732192993164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.30025212826839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81842669} λ = 0.81842669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30025212826839))-π/2
    2×atan(9.97669754521507)-π/2
    2×1.47089642339772-π/2
    2.94179284679544-1.57079632675     		φ = 1.37099652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81842669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.892395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37099652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.552314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82609 KachelY 17551 0.81842669 1.37099652 46.892395 78.552314
    Oben rechts KachelX + 1 82610 KachelY 17551 0.81847462 1.37099652 46.895141 78.552314
    Unten links KachelX 82609 KachelY + 1 17552 0.81842669 1.37098701 46.892395 78.551769
    Unten rechts KachelX + 1 82610 KachelY + 1 17552 0.81847462 1.37098701 46.895141 78.551769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37099652-1.37098701) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dl = 60.5882100009996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37099652-1.37098701) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dr = 60.5882100009996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81842669-0.81847462) × cos(1.37099652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198473124145872 × 6371000     		do = 60.6061560896625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81842669-0.81847462) × cos(1.37098701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1984824449481 × 6371000     		du = 60.609002308752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37099652)-sin(1.37098701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198473124145872-0.1984824449481)×R²
    abs(0.81847462-0.81842669)×9.32080222765252e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.32080222765252e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.32080222765252e-06×40589641000000     		ar = 3672.10473621127m²