Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82607 / 20110
↖ ↑ ↗
← N 77.070183°
E 46.886902°		 ← 68.34 m → N 77.070183°
E 46.889648°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.069568°
E 46.886902°		 ← 68.34 m →
4 668 m²		 N 77.069568°
E 46.889648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630245208740234 y=0.153430938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630245208740234 × 217)
    floor (0.630245208740234 × 131072)
    floor (82607.5)     		tx = 82607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153430938720703 × 217)
    floor (0.153430938720703 × 131072)
    floor (20110.5)     		ty = 20110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82607 / 20110 ti = "17/82607/20110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82607/20110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82607 ÷ 217
    82607 ÷ 131072     		x = 0.630241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20110 ÷ 217
    20110 ÷ 131072     		y = 0.153427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630241394042969 × 2 - 1) × π
    0.260482788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81833081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153427124023438 × 2 - 1) × π
    0.693145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17758160214067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81833081} λ = 0.81833081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17758160214067))-π/2
    2×atan(8.82493821922682)-π/2
    2×1.45796238551406-π/2
    2.91592477102812-1.57079632675     		φ = 1.34512844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81833081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.886902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34512844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.070183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82607 KachelY 20110 0.81833081 1.34512844 46.886902 77.070183
    Oben rechts KachelX + 1 82608 KachelY 20110 0.81837875 1.34512844 46.889648 77.070183
    Unten links KachelX 82607 KachelY + 1 20111 0.81833081 1.34511772 46.886902 77.069568
    Unten rechts KachelX + 1 82608 KachelY + 1 20111 0.81837875 1.34511772 46.889648 77.069568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34512844-1.34511772) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dl = 68.2971200008322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34512844-1.34511772) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dr = 68.2971200008322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81833081-0.81837875) × cos(1.34512844) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223757364434362 × 6371000     		do = 68.3412586129282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81833081-0.81837875) × cos(1.34511772) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223767812614618 × 6371000     		du = 68.3444497561143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34512844)-sin(1.34511772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223757364434362-0.223767812614618)×R²
    abs(0.81837875-0.81833081)×1.04481802552514e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04481802552514e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04481802552514e-05×40589641000000     		ar = 4667.62011364272m²