Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82607 / 17553
↖ ↑ ↗
← N 78.551224°
E 46.886902°		 ← 60.62 m → N 78.551224°
E 46.889648°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.550679°
E 46.886902°		 ← 60.63 m →
3 673 m²		 N 78.550679°
E 46.889648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630245208740234 y=0.133922576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630245208740234 × 217)
    floor (0.630245208740234 × 131072)
    floor (82607.5)     		tx = 82607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133922576904297 × 217)
    floor (0.133922576904297 × 131072)
    floor (17553.5)     		ty = 17553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82607 / 17553 ti = "17/82607/17553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82607/17553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82607 ÷ 217
    82607 ÷ 131072     		x = 0.630241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17553 ÷ 217
    17553 ÷ 131072     		y = 0.133918762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630241394042969 × 2 - 1) × π
    0.260482788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81833081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133918762207031 × 2 - 1) × π
    0.732162475585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30015625446915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81833081} λ = 0.81833081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30015625446915))-π/2
    2×atan(9.97574108716791)-π/2
    2×1.47088690876447-π/2
    2.94177381752894-1.57079632675     		φ = 1.37097749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81833081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.886902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37097749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.551224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82607 KachelY 17553 0.81833081 1.37097749 46.886902 78.551224
    Oben rechts KachelX + 1 82608 KachelY 17553 0.81837875 1.37097749 46.889648 78.551224
    Unten links KachelX 82607 KachelY + 1 17554 0.81833081 1.37096798 46.886902 78.550679
    Unten rechts KachelX + 1 82608 KachelY + 1 17554 0.81837875 1.37096798 46.889648 78.550679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37097749-1.37096798) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dl = 60.5882099995849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37097749-1.37096798) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dr = 60.5882099995849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81833081-0.81837875) × cos(1.37097749) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.198491775533402 × 6371000     		do = 60.6244974263037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81833081-0.81837875) × cos(1.37096798) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.198501096299708 × 6371000     		du = 60.6273442282502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37097749)-sin(1.37096798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198491775533402-0.198501096299708)×R²
    abs(0.81837875-0.81833081)×9.32076630616452e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.32076630616452e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.32076630616452e-06×40589641000000     		ar = 3673.21602247636m²