Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82604 / 16201
↖ ↑ ↗
← N 79.265359°
E 46.878662°		 ← 56.89 m → N 79.265359°
E 46.881409°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.264847°
E 46.878662°		 ← 56.89 m →
3 237 m²		 N 79.264847°
E 46.881409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630222320556641 y=0.123607635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630222320556641 × 217)
    floor (0.630222320556641 × 131072)
    floor (82604.5)     		tx = 82604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123607635498047 × 217)
    floor (0.123607635498047 × 131072)
    floor (16201.5)     		ty = 16201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82604 / 16201 ti = "17/82604/16201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82604/16201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82604 ÷ 217
    82604 ÷ 131072     		x = 0.630218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16201 ÷ 217
    16201 ÷ 131072     		y = 0.123603820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630218505859375 × 2 - 1) × π
    0.26043701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81818700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123603820800781 × 2 - 1) × π
    0.752792358398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36496694275547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81818700} λ = 0.81818700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36496694275547))-π/2
    2×atan(10.6436869607318)-π/2
    2×1.47711890674917-π/2
    2.95423781349834-1.57079632675     		φ = 1.38344149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81818700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38344149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.265359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82604 KachelY 16201 0.81818700 1.38344149 46.878662 79.265359
    Oben rechts KachelX + 1 82605 KachelY 16201 0.81823494 1.38344149 46.881409 79.265359
    Unten links KachelX 82604 KachelY + 1 16202 0.81818700 1.38343256 46.878662 79.264847
    Unten rechts KachelX + 1 82605 KachelY + 1 16202 0.81823494 1.38343256 46.881409 79.264847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38344149-1.38343256) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38344149-1.38343256) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81818700-0.81823494) × cos(1.38344149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186260675823734 × 6371000     		do = 56.8888047463268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81818700-0.81823494) × cos(1.38343256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186269449544537 × 6371000     		du = 56.8914844664955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38344149)-sin(1.38343256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186260675823734-0.186269449544537)×R²
    abs(0.81823494-0.81818700)×8.77372080285155e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77372080285155e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77372080285155e-06×40589641000000     		ar = 3236.65270384658m²