Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8260 / 12100
↖ ↑ ↗
← S 64.811557°
E  1.494140°		 ← 1 039.85 m → S 64.811557°
E  1.516113°		 →
↑
1 039.62 m
↓
↑
1 039.62 m
↓
S 64.820907°
E  1.494140°		 ← 1 039.49 m →
1 080 863 m²		 S 64.820907°
E  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504180908203125 y=0.738555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504180908203125 × 214)
    floor (0.504180908203125 × 16384)
    floor (8260.5)     		tx = 8260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738555908203125 × 214)
    floor (0.738555908203125 × 16384)
    floor (12100.5)     		ty = 12100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8260 / 12100 ti = "14/8260/12100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8260/12100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8260 ÷ 214
    8260 ÷ 16384     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12100 ÷ 214
    12100 ÷ 16384     		y = 0.738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.47705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49869922972144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49869922972144))-π/2
    2×atan(0.223420590079363)-π/2
    2×0.21981062972599-π/2
    0.439621259451981-1.57079632675     		φ = -1.13117507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13117507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.811557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8260 KachelY 12100 0.02607767 -1.13117507 1.494140 -64.811557
    Oben rechts KachelX + 1 8261 KachelY 12100 0.02646117 -1.13117507 1.516113 -64.811557
    Unten links KachelX 8260 KachelY + 1 12101 0.02607767 -1.13133825 1.494140 -64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 8261 KachelY + 1 12101 0.02646117 -1.13133825 1.516113 -64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13117507--1.13133825) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dl = 1039.61977999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13117507--1.13133825) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dr = 1039.61977999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(-1.13117507) × R
    0.000383499999999998 × 0.425596765979697 × 6371000     		do = 1039.85142798772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(-1.13133825) × R
    0.000383499999999998 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 1039.49063062518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13117507)-sin(-1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425596765979697-0.425449096623732)×R²
    abs(0.02646117-0.02607767)×0.000147669355964775×R²
    0.000383499999999998×0.000147669355964775×6371000²
    0.000383499999999998×0.000147669355964775×40589641000000     		ar = 1080862.5691573m²