Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 826 / 887
↖ ↑ ↗
← N 70.873492°
W107.402344°		 ← 3 202.17 m → N 70.873492°
W107.314453°		 →
↑
3 204.55 m
↓
↑
3 204.55 m
↓
N 70.844672°
W107.402344°		 ← 3 206.81 m →
10 268 948 m²		 N 70.844672°
W107.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2017822265625 y=0.2166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2017822265625 × 212)
    floor (0.2017822265625 × 4096)
    floor (826.5)     		tx = 826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2166748046875 × 212)
    floor (0.2166748046875 × 4096)
    floor (887.5)     		ty = 887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 826 / 887 ti = "12/826/887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/826/887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 826 ÷ 212
    826 ÷ 4096     		x = 0.20166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 887 ÷ 212
    887 ÷ 4096     		y = 0.216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20166015625 × 2 - 1) × π
    -0.5966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.87452452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216552734375 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78095169468433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.87452452} λ = -1.87452452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78095169468433))-π/2
    2×atan(5.93550251767863)-π/2
    2×1.40388605134149-π/2
    2.80777210268299-1.57079632675     		φ = 1.23697578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.87452452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -107.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23697578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.873492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 826 KachelY 887 -1.87452452 1.23697578 -107.402344 70.873492
    Oben rechts KachelX + 1 827 KachelY 887 -1.87299054 1.23697578 -107.314453 70.873492
    Unten links KachelX 826 KachelY + 1 888 -1.87452452 1.23647279 -107.402344 70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 827 KachelY + 1 888 -1.87299054 1.23647279 -107.314453 70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23697578-1.23647279) × R
    0.000502989999999981 × 6371000     		dl = 3204.54928999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23697578-1.23647279) × R
    0.000502989999999981 × 6371000     		dr = 3204.54928999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.87452452--1.87299054) × cos(1.23697578) × R
    0.00153398000000005 × 0.32765505368854 × 6371000     		do = 3202.16844256738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.87452452--1.87299054) × cos(1.23647279) × R
    0.00153398000000005 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 3206.81239169725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23697578)-sin(1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32765505368854-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.87299054--1.87452452)×0.000475182186311318×R²
    0.00153398000000005×0.000475182186311318×6371000²
    0.00153398000000005×0.000475182186311318×40589641000000     		ar = 10268947.7075331m²