Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 826 / 407
↖ ↑ ↗
← N 34.597042°
E110.390625°		 ← 32.179 km → N 34.597042°
E110.742187°		 →
↑
32.235 km
↓
↑
32.235 km
↓
N 34.307144°
E110.390625°		 ← 32.291 km →
1 039.11 km²		 N 34.307144°
E110.742187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80712890625 y=0.39794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80712890625 × 210)
    floor (0.80712890625 × 1024)
    floor (826.5)     		tx = 826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39794921875 × 210)
    floor (0.39794921875 × 1024)
    floor (407.5)     		ty = 407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 826 / 407 ti = "10/826/407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/826/407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 826 ÷ 210
    826 ÷ 1024     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 407 ÷ 210
    407 ÷ 1024     		y = 0.3974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3974609375 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.644271930893555))-π/2
    2×atan(1.90459984404326)-π/2
    2×1.08731430634281-π/2
    2.17462861268563-1.57079632675     		φ = 0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 826 KachelY 407 1.92667987 0.60383229 110.390625 34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 827 KachelY 407 1.93281579 0.60383229 110.742187 34.597042
    Unten links KachelX 826 KachelY + 1 408 1.92667987 0.59877262 110.390625 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 827 KachelY + 1 408 1.93281579 0.59877262 110.742187 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60383229-0.59877262) × R
    0.00505967000000007 × 6371000     		dl = 32235.1575700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60383229-0.59877262) × R
    0.00505967000000007 × 6371000     		dr = 32235.1575700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.93281579) × cos(0.60383229) × R
    0.00613591999999996 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 32179.1488051053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.93281579) × cos(0.59877262) × R
    0.00613591999999996 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 32291.0431709327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60383229)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.826028023946516)×R²
    abs(1.93281579-1.92667987)×0.0028623380609244×R²
    0.00613591999999996×0.0028623380609244×6371000²
    0.00613591999999996×0.0028623380609244×40589641000000     		ar = 1039105615.24002m²