Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 826 / 202
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W 34.804687°		 ← 3 119.35 m → N 80.816891°
W 34.628906°		 →
↑
3 124.08 m
↓
↑
3 124.08 m
↓
N 80.788795°
W 34.804687°		 ← 3 128.81 m →
9 759 874 m²		 N 80.788795°
W 34.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403564453125 y=0.098876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403564453125 × 211)
    floor (0.403564453125 × 2048)
    floor (826.5)     		tx = 826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098876953125 × 211)
    floor (0.098876953125 × 2048)
    floor (202.5)     		ty = 202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 826 / 202 ti = "11/826/202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/826/202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 826 ÷ 211
    826 ÷ 2048     		x = 0.4033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 202 ÷ 211
    202 ÷ 2048     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4033203125 × 2 - 1) × π
    -0.193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60745639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60745639} λ = -0.60745639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60745639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.804687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 826 KachelY 202 -0.60745639 1.41052084 -34.804687 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 827 KachelY 202 -0.60438843 1.41052084 -34.628906 80.816891
    Unten links KachelX 826 KachelY + 1 203 -0.60745639 1.41003048 -34.804687 80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 827 KachelY + 1 203 -0.60438843 1.41003048 -34.628906 80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.41003048) × R
    0.000490359999999912 × 6371000     		dl = 3124.08355999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.41003048) × R
    0.000490359999999912 × 6371000     		dr = 3124.08355999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60745639--0.60438843) × cos(1.41052084) × R
    0.00306795999999998 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 3119.34515294228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60745639--0.60438843) × cos(1.41003048) × R
    0.00306795999999998 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 3128.80649899561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.160074224669386)×R²
    abs(-0.60438843--0.60745639)×0.000484056024014662×R²
    0.00306795999999998×0.000484056024014662×6371000²
    0.00306795999999998×0.000484056024014662×40589641000000     		ar = 9759874.12365991m²