Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82597 / 14559
↖ ↑ ↗
← N 80.073686°
E 46.859436°		 ← 52.65 m → N 80.073686°
E 46.862183°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.073212°
E 46.859436°		 ← 52.65 m →
2 771 m²		 N 80.073212°
E 46.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630168914794922 y=0.111080169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630168914794922 × 217)
    floor (0.630168914794922 × 131072)
    floor (82597.5)     		tx = 82597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111080169677734 × 217)
    floor (0.111080169677734 × 131072)
    floor (14559.5)     		ty = 14559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82597 / 14559 ti = "17/82597/14559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82597/14559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82597 ÷ 217
    82597 ÷ 131072     		x = 0.630165100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14559 ÷ 217
    14559 ÷ 131072     		y = 0.111076354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630165100097656 × 2 - 1) × π
    0.260330200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81785144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111076354980469 × 2 - 1) × π
    0.777847290039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.4436793319316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81785144} λ = 0.81785144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4436793319316))-π/2
    2×atan(11.515331621333)-π/2
    2×1.48417289514772-π/2
    2.96834579029543-1.57079632675     		φ = 1.39754946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81785144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39754946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.073686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82597 KachelY 14559 0.81785144 1.39754946 46.859436 80.073686
    Oben rechts KachelX + 1 82598 KachelY 14559 0.81789938 1.39754946 46.862183 80.073686
    Unten links KachelX 82597 KachelY + 1 14560 0.81785144 1.39754120 46.859436 80.073212
    Unten rechts KachelX + 1 82598 KachelY + 1 14560 0.81789938 1.39754120 46.862183 80.073212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39754946-1.39754120) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39754946-1.39754120) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81785144-0.81789938) × cos(1.39754946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172381514126089 × 6371000     		do = 52.6497515142466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81785144-0.81789938) × cos(1.39754120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172389650470158 × 6371000     		du = 52.6522365631547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39754946)-sin(1.39754120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172381514126089-0.172389650470158)×R²
    abs(0.81789938-0.81785144)×8.13634406890418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.13634406890418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.13634406890418e-06×40589641000000     		ar = 2770.7301297034m²