Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82595 / 17507
↖ ↑ ↗
← N 78.576275°
E 46.853943°		 ← 60.49 m → N 78.576275°
E 46.856690°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.575731°
E 46.853943°		 ← 60.50 m →
3 658 m²		 N 78.575731°
E 46.856690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630153656005859 y=0.133571624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630153656005859 × 217)
    floor (0.630153656005859 × 131072)
    floor (82595.5)     		tx = 82595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133571624755859 × 217)
    floor (0.133571624755859 × 131072)
    floor (17507.5)     		ty = 17507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82595 / 17507 ti = "17/82595/17507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82595/17507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82595 ÷ 217
    82595 ÷ 131072     		x = 0.630149841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17507 ÷ 217
    17507 ÷ 131072     		y = 0.133567810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630149841308594 × 2 - 1) × π
    0.260299682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81775557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133567810058594 × 2 - 1) × π
    0.732864379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.30236135185168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81775557} λ = 0.81775557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30236135185168))-π/2
    2×atan(9.99776283885814)-π/2
    2×1.47110551928606-π/2
    2.94221103857212-1.57079632675     		φ = 1.37141471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81775557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.853943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37141471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.576275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82595 KachelY 17507 0.81775557 1.37141471 46.853943 78.576275
    Oben rechts KachelX + 1 82596 KachelY 17507 0.81780351 1.37141471 46.856690 78.576275
    Unten links KachelX 82595 KachelY + 1 17508 0.81775557 1.37140522 46.853943 78.575731
    Unten rechts KachelX + 1 82596 KachelY + 1 17508 0.81780351 1.37140522 46.856690 78.575731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37141471-1.37140522) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37141471-1.37140522) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81775557-0.81780351) × cos(1.37141471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198063236136712 × 6371000     		do = 60.4936104638102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81775557-0.81780351) × cos(1.37140522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19807253812372 × 6371000     		du = 60.4964515300759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37141471)-sin(1.37140522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198063236136712-0.19807253812372)×R²
    abs(0.81780351-0.81775557)×9.30198700879736e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.30198700879736e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.30198700879736e-06×40589641000000     		ar = 3657.57736524756m²