Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82593 / 17505
↖ ↑ ↗
← N 78.577363°
E 46.848450°		 ← 60.48 m → N 78.577363°
E 46.851196°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.576819°
E 46.848450°		 ← 60.48 m →
3 656 m²		 N 78.576819°
E 46.851196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630138397216797 y=0.133556365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630138397216797 × 217)
    floor (0.630138397216797 × 131072)
    floor (82593.5)     		tx = 82593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133556365966797 × 217)
    floor (0.133556365966797 × 131072)
    floor (17505.5)     		ty = 17505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82593 / 17505 ti = "17/82593/17505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82593/17505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82593 ÷ 217
    82593 ÷ 131072     		x = 0.630134582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17505 ÷ 217
    17505 ÷ 131072     		y = 0.133552551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630134582519531 × 2 - 1) × π
    0.260269165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81765970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133552551269531 × 2 - 1) × π
    0.732894897460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30245722565092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81765970} λ = 0.81765970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30245722565092))-π/2
    2×atan(9.99872140831552)-π/2
    2×1.47111501337734-π/2
    2.94223002675468-1.57079632675     		φ = 1.37143370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81765970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.848450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37143370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.577363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82593 KachelY 17505 0.81765970 1.37143370 46.848450 78.577363
    Oben rechts KachelX + 1 82594 KachelY 17505 0.81770763 1.37143370 46.851196 78.577363
    Unten links KachelX 82593 KachelY + 1 17506 0.81765970 1.37142421 46.848450 78.576819
    Unten rechts KachelX + 1 82594 KachelY + 1 17506 0.81770763 1.37142421 46.851196 78.576819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37143370-1.37142421) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37143370-1.37142421) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81765970-0.81770763) × cos(1.37143370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198044622307252 × 6371000     		do = 60.4753078983628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81765970-0.81770763) × cos(1.37142421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198053924329954 × 6371000     		du = 60.4781483828982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37143370)-sin(1.37142421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198044622307252-0.198053924329954)×R²
    abs(0.81770763-0.81765970)×9.30202270194025e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.30202270194025e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.30202270194025e-06×40589641000000     		ar = 3656.47075995798m²