Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82593 / 14561
↖ ↑ ↗
← N 80.072739°
E 46.848450°		 ← 52.64 m → N 80.072739°
E 46.851196°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.072265°
E 46.848450°		 ← 52.65 m →
2 774 m²		 N 80.072265°
E 46.851196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630138397216797 y=0.111095428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630138397216797 × 217)
    floor (0.630138397216797 × 131072)
    floor (82593.5)     		tx = 82593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111095428466797 × 217)
    floor (0.111095428466797 × 131072)
    floor (14561.5)     		ty = 14561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82593 / 14561 ti = "17/82593/14561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82593/14561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82593 ÷ 217
    82593 ÷ 131072     		x = 0.630134582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14561 ÷ 217
    14561 ÷ 131072     		y = 0.111091613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630134582519531 × 2 - 1) × π
    0.260269165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81765970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111091613769531 × 2 - 1) × π
    0.777816772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.44358345813236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81765970} λ = 0.81765970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44358345813236))-π/2
    2×atan(11.5142276556624)-π/2
    2×1.48416463132234-π/2
    2.96832926264468-1.57079632675     		φ = 1.39753294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81765970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.848450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39753294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.072739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82593 KachelY 14561 0.81765970 1.39753294 46.848450 80.072739
    Oben rechts KachelX + 1 82594 KachelY 14561 0.81770763 1.39753294 46.851196 80.072739
    Unten links KachelX 82593 KachelY + 1 14562 0.81765970 1.39752467 46.848450 80.072265
    Unten rechts KachelX + 1 82594 KachelY + 1 14562 0.81770763 1.39752467 46.851196 80.072265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39753294-1.39752467) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39753294-1.39752467) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81765970-0.81770763) × cos(1.39753294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172397786802465 × 6371000     		do = 52.6437381455401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81765970-0.81770763) × cos(1.39752467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17240593297327 × 6371000     		du = 52.6462256767938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39753294)-sin(1.39752467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172397786802465-0.17240593297327)×R²
    abs(0.81770763-0.81765970)×8.14617080488467e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14617080488467e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14617080488467e-06×40589641000000     		ar = 2773.76775653149m²