Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82591 / 20099
↖ ↑ ↗
← N 77.076941°
E 46.842956°		 ← 68.31 m → N 77.076941°
E 46.845703°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.076327°
E 46.842956°		 ← 68.31 m →
4 665 m²		 N 77.076327°
E 46.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630123138427734 y=0.153347015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630123138427734 × 217)
    floor (0.630123138427734 × 131072)
    floor (82591.5)     		tx = 82591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153347015380859 × 217)
    floor (0.153347015380859 × 131072)
    floor (20099.5)     		ty = 20099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82591 / 20099 ti = "17/82591/20099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82591/20099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82591 ÷ 217
    82591 ÷ 131072     		x = 0.630119323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20099 ÷ 217
    20099 ÷ 131072     		y = 0.153343200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630119323730469 × 2 - 1) × π
    0.260238647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81756382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153343200683594 × 2 - 1) × π
    0.693313598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17810890803649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81756382} λ = 0.81756382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17810890803649))-π/2
    2×atan(8.82959288828943)-π/2
    2×1.45802136464454-π/2
    2.91604272928907-1.57079632675     		φ = 1.34524640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81756382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.842956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34524640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.076941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82591 KachelY 20099 0.81756382 1.34524640 46.842956 77.076941
    Oben rechts KachelX + 1 82592 KachelY 20099 0.81761176 1.34524640 46.845703 77.076941
    Unten links KachelX 82591 KachelY + 1 20100 0.81756382 1.34523568 46.842956 77.076327
    Unten rechts KachelX + 1 82592 KachelY + 1 20100 0.81761176 1.34523568 46.845703 77.076327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34524640-1.34523568) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dl = 68.2971199994176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34524640-1.34523568) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dr = 68.2971199994176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81756382-0.81761176) × cos(1.34524640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223642393767856 × 6371000     		do = 68.3061436118742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81756382-0.81761176) × cos(1.34523568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223652842230994 × 6371000     		du = 68.3093348414597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34524640)-sin(1.34523568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223642393767856-0.223652842230994)×R²
    abs(0.81761176-0.81756382)×1.04484631371082e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04484631371082e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04484631371082e-05×40589641000000     		ar = 4665.22186298486m²