Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82590 / 19868
↖ ↑ ↗
← N 77.218070°
E 46.840210°		 ← 67.56 m → N 77.218070°
E 46.842956°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.217462°
E 46.840210°		 ← 67.56 m →
4 567 m²		 N 77.217462°
E 46.842956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630115509033203 y=0.151584625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630115509033203 × 217)
    floor (0.630115509033203 × 131072)
    floor (82590.5)     		tx = 82590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151584625244141 × 217)
    floor (0.151584625244141 × 131072)
    floor (19868.5)     		ty = 19868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82590 / 19868 ti = "17/82590/19868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82590/19868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82590 ÷ 217
    82590 ÷ 131072     		x = 0.630111694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19868 ÷ 217
    19868 ÷ 131072     		y = 0.151580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630111694335938 × 2 - 1) × π
    0.260223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81751589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151580810546875 × 2 - 1) × π
    0.69683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18918233184872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81751589} λ = 0.81751589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18918233184872))-π/2
    2×atan(8.92791006165383)-π/2
    2×1.4592529487131-π/2
    2.9185058974262-1.57079632675     		φ = 1.34770957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81751589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.840210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34770957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.218070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82590 KachelY 19868 0.81751589 1.34770957 46.840210 77.218070
    Oben rechts KachelX + 1 82591 KachelY 19868 0.81756382 1.34770957 46.842956 77.218070
    Unten links KachelX 82590 KachelY + 1 19869 0.81751589 1.34769896 46.840210 77.217462
    Unten rechts KachelX + 1 82591 KachelY + 1 19869 0.81756382 1.34769896 46.842956 77.217462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34770957-1.34769896) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dl = 67.5963099994328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34770957-1.34769896) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dr = 67.5963099994328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81751589-0.81756382) × cos(1.34770957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221240936727591 × 6371000     		do = 67.5585815582802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81751589-0.81756382) × cos(1.34769896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221251283790632 × 6371000     		du = 67.5617411584548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34770957)-sin(1.34769896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221240936727591-0.221251283790632)×R²
    abs(0.81756382-0.81751589)×1.03470630406222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03470630406222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03470630406222e-05×40589641000000     		ar = 4566.81761081713m²