Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8259 / 8372
↖ ↑ ↗
← N 78.983989°
W134.631958°		 ← 116.72 m → N 78.983989°
W134.626465°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
N 78.982939°
W134.631958°		 ← 116.73 m →
13 624 m²		 N 78.982939°
W134.626465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126029968261719 y=0.127754211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126029968261719 × 216)
    floor (0.126029968261719 × 65536)
    floor (8259.5)     		tx = 8259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127754211425781 × 216)
    floor (0.127754211425781 × 65536)
    floor (8372.5)     		ty = 8372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8259 / 8372 ti = "16/8259/8372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8259/8372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8259 ÷ 216
    8259 ÷ 65536     		x = 0.126022338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8372 ÷ 216
    8372 ÷ 65536     		y = 0.12774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126022338867188 × 2 - 1) × π
    -0.747955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34977095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12774658203125 × 2 - 1) × π
    0.7445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33893720626178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34977095} λ = -2.34977095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33893720626178))-π/2
    2×atan(10.3702093104033)-π/2
    2×1.47466349442574-π/2
    2.94932698885148-1.57079632675     		φ = 1.37853066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34977095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.631958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37853066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.983989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8259 KachelY 8372 -2.34977095 1.37853066 -134.631958 78.983989
    Oben rechts KachelX + 1 8260 KachelY 8372 -2.34967507 1.37853066 -134.626465 78.983989
    Unten links KachelX 8259 KachelY + 1 8373 -2.34977095 1.37851234 -134.631958 78.982939
    Unten rechts KachelX + 1 8260 KachelY + 1 8373 -2.34967507 1.37851234 -134.626465 78.982939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37853066-1.37851234) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37853066-1.37851234) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34977095--2.34967507) × cos(1.37853066) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191083302731587 × 6371000     		do = 116.723518276801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34977095--2.34967507) × cos(1.37851234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191101285131971 × 6371000     		du = 116.73450285269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37853066)-sin(1.37851234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191083302731587-0.191101285131971)×R²
    abs(-2.34967507--2.34977095)×1.79824003837814e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79824003837814e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79824003837814e-05×40589641000000     		ar = 13624.2272422218m²