Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82589 / 19869
↖ ↑ ↗
← N 77.217462°
E 46.837463°		 ← 67.58 m → N 77.217462°
E 46.840210°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.216855°
E 46.837463°		 ← 67.58 m →
4 564 m²		 N 77.216855°
E 46.840210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630107879638672 y=0.151592254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630107879638672 × 217)
    floor (0.630107879638672 × 131072)
    floor (82589.5)     		tx = 82589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151592254638672 × 217)
    floor (0.151592254638672 × 131072)
    floor (19869.5)     		ty = 19869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82589 / 19869 ti = "17/82589/19869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82589/19869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82589 ÷ 217
    82589 ÷ 131072     		x = 0.630104064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19869 ÷ 217
    19869 ÷ 131072     		y = 0.151588439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630104064941406 × 2 - 1) × π
    0.260208129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81746795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151588439941406 × 2 - 1) × π
    0.696823120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.1891343949491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81746795} λ = 0.81746795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1891343949491))-π/2
    2×atan(8.92748209558315)-π/2
    2×1.45924764578688-π/2
    2.91849529157375-1.57079632675     		φ = 1.34769896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81746795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.837463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34769896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.217462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82589 KachelY 19869 0.81746795 1.34769896 46.837463 77.217462
    Oben rechts KachelX + 1 82590 KachelY 19869 0.81751589 1.34769896 46.840210 77.217462
    Unten links KachelX 82589 KachelY + 1 19870 0.81746795 1.34768836 46.837463 77.216855
    Unten rechts KachelX + 1 82590 KachelY + 1 19870 0.81751589 1.34768836 46.840210 77.216855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34769896-1.34768836) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34769896-1.34768836) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81746795-0.81751589) × cos(1.34769896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221251283790632 × 6371000     		do = 67.5758370776595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81746795-0.81751589) × cos(1.34768836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221261621076621 × 6371000     		du = 67.5789943508823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34769896)-sin(1.34768836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221251283790632-0.221261621076621)×R²
    abs(0.81751589-0.81746795)×1.03372859891204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03372859891204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03372859891204e-05×40589641000000     		ar = 4563.67858452m²