Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82588 / 14613
↖ ↑ ↗
← N 80.048087°
E 46.834717°		 ← 52.78 m → N 80.048087°
E 46.837463°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.047612°
E 46.834717°		 ← 52.79 m →
2 788 m²		 N 80.047612°
E 46.837463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630100250244141 y=0.111492156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630100250244141 × 217)
    floor (0.630100250244141 × 131072)
    floor (82588.5)     		tx = 82588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111492156982422 × 217)
    floor (0.111492156982422 × 131072)
    floor (14613.5)     		ty = 14613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82588 / 14613 ti = "17/82588/14613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82588/14613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82588 ÷ 217
    82588 ÷ 131072     		x = 0.630096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14613 ÷ 217
    14613 ÷ 131072     		y = 0.111488342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630096435546875 × 2 - 1) × π
    0.26019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81742001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111488342285156 × 2 - 1) × π
    0.777023315429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.44109073935212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81742001} λ = 0.81742001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44109073935212))-π/2
    2×atan(11.4855616671126)-π/2
    2×1.4839494977124-π/2
    2.9678989954248-1.57079632675     		φ = 1.39710267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81742001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.834717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39710267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.048087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82588 KachelY 14613 0.81742001 1.39710267 46.834717 80.048087
    Oben rechts KachelX + 1 82589 KachelY 14613 0.81746795 1.39710267 46.837463 80.048087
    Unten links KachelX 82588 KachelY + 1 14614 0.81742001 1.39709438 46.834717 80.047612
    Unten rechts KachelX + 1 82589 KachelY + 1 14614 0.81746795 1.39709438 46.837463 80.047612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39710267-1.39709438) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39710267-1.39709438) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81742001-0.81746795) × cos(1.39710267) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172821598575908 × 6371000     		do = 52.7841646331172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81742001-0.81746795) × cos(1.39709438) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.17282976383153 × 6371000     		du = 52.7866585123578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39710267)-sin(1.39709438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172821598575908-0.17282976383153)×R²
    abs(0.81746795-0.81742001)×8.16525562177817e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.16525562177817e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.16525562177817e-06×40589641000000     		ar = 2787.89265558147m²