Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82587 / 20103
↖ ↑ ↗
← N 77.074484°
E 46.831970°		 ← 68.30 m → N 77.074484°
E 46.834717°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.073870°
E 46.831970°		 ← 68.31 m →
4 669 m²		 N 77.073870°
E 46.834717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630092620849609 y=0.153377532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630092620849609 × 217)
    floor (0.630092620849609 × 131072)
    floor (82587.5)     		tx = 82587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153377532958984 × 217)
    floor (0.153377532958984 × 131072)
    floor (20103.5)     		ty = 20103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82587 / 20103 ti = "17/82587/20103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82587/20103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82587 ÷ 217
    82587 ÷ 131072     		x = 0.630088806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20103 ÷ 217
    20103 ÷ 131072     		y = 0.153373718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630088806152344 × 2 - 1) × π
    0.260177612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81737208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153373718261719 × 2 - 1) × π
    0.693252563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17791716043801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81737208} λ = 0.81737208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17791716043801))-π/2
    2×atan(8.82789999736662)-π/2
    2×1.45799992119508-π/2
    2.91599984239017-1.57079632675     		φ = 1.34520352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81737208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.831970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34520352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.074484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82587 KachelY 20103 0.81737208 1.34520352 46.831970 77.074484
    Oben rechts KachelX + 1 82588 KachelY 20103 0.81742001 1.34520352 46.834717 77.074484
    Unten links KachelX 82587 KachelY + 1 20104 0.81737208 1.34519279 46.831970 77.073870
    Unten rechts KachelX + 1 82588 KachelY + 1 20104 0.81742001 1.34519279 46.834717 77.073870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34520352-1.34519279) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dl = 68.360830000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34520352-1.34519279) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dr = 68.360830000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81737208-0.81742001) × cos(1.34520352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223684187466189 × 6371000     		do = 68.304657563618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81737208-0.81742001) × cos(1.34519279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223694645573105 × 6371000     		du = 68.3078510723756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34520352)-sin(1.34519279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223684187466189-0.223694645573105)×R²
    abs(0.81742001-0.81737208)×1.0458106915523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0458106915523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0458106915523e-05×40589641000000     		ar = 4669.47223956295m²