Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82586 / 20105
↖ ↑ ↗
← N 77.073255°
E 46.829224°		 ← 68.33 m → N 77.073255°
E 46.831970°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.072641°
E 46.829224°		 ← 68.33 m →
4 667 m²		 N 77.072641°
E 46.831970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630084991455078 y=0.153392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630084991455078 × 217)
    floor (0.630084991455078 × 131072)
    floor (82586.5)     		tx = 82586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153392791748047 × 217)
    floor (0.153392791748047 × 131072)
    floor (20105.5)     		ty = 20105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82586 / 20105 ti = "17/82586/20105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82586/20105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82586 ÷ 217
    82586 ÷ 131072     		x = 0.630081176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20105 ÷ 217
    20105 ÷ 131072     		y = 0.153388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630081176757812 × 2 - 1) × π
    0.260162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81732414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153388977050781 × 2 - 1) × π
    0.693222045898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17782128663877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81732414} λ = 0.81732414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17782128663877))-π/2
    2×atan(8.82705367362535)-π/2
    2×1.45798919796743-π/2
    2.91597839593487-1.57079632675     		φ = 1.34518207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81732414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.829224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34518207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.073255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82586 KachelY 20105 0.81732414 1.34518207 46.829224 77.073255
    Oben rechts KachelX + 1 82587 KachelY 20105 0.81737208 1.34518207 46.831970 77.073255
    Unten links KachelX 82586 KachelY + 1 20106 0.81732414 1.34517135 46.829224 77.072641
    Unten rechts KachelX + 1 82587 KachelY + 1 20106 0.81737208 1.34517135 46.831970 77.072641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34518207-1.34517135) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dl = 68.2971199994176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34518207-1.34517135) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dr = 68.2971199994176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81732414-0.81737208) × cos(1.34518207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223705093907697 × 6371000     		do = 68.3252938484831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81732414-0.81737208) × cos(1.34517135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223715542216581 × 6371000     		du = 68.3284850309558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34518207)-sin(1.34517135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223705093907697-0.223715542216581)×R²
    abs(0.81737208-0.81732414)×1.04483088841367e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04483088841367e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04483088841367e-05×40589641000000     		ar = 4666.5297673856m²