Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82586 / 19876
↖ ↑ ↗
← N 77.213208°
E 46.829224°		 ← 67.60 m → N 77.213208°
E 46.831970°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.212600°
E 46.829224°		 ← 67.60 m →
4 569 m²		 N 77.212600°
E 46.831970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630084991455078 y=0.151645660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630084991455078 × 217)
    floor (0.630084991455078 × 131072)
    floor (82586.5)     		tx = 82586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151645660400391 × 217)
    floor (0.151645660400391 × 131072)
    floor (19876.5)     		ty = 19876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82586 / 19876 ti = "17/82586/19876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82586/19876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82586 ÷ 217
    82586 ÷ 131072     		x = 0.630081176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19876 ÷ 217
    19876 ÷ 131072     		y = 0.151641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630081176757812 × 2 - 1) × π
    0.260162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81732414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151641845703125 × 2 - 1) × π
    0.69671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18879883665176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81732414} λ = 0.81732414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18879883665176))-π/2
    2×atan(8.92448690744984)-π/2
    2×1.45921051836116-π/2
    2.91842103672232-1.57079632675     		φ = 1.34762471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81732414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.829224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34762471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.213208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82586 KachelY 19876 0.81732414 1.34762471 46.829224 77.213208
    Oben rechts KachelX + 1 82587 KachelY 19876 0.81737208 1.34762471 46.831970 77.213208
    Unten links KachelX 82586 KachelY + 1 19877 0.81732414 1.34761410 46.829224 77.212600
    Unten rechts KachelX + 1 82587 KachelY + 1 19877 0.81737208 1.34761410 46.831970 77.212600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34762471-1.34761410) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dl = 67.5963100008474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34762471-1.34761410) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dr = 67.5963100008474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81732414-0.81737208) × cos(1.34762471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221323693030456 × 6371000     		do = 67.5979527233154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81732414-0.81737208) × cos(1.34761410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221334039894257 × 6371000     		du = 67.6011129218486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34762471)-sin(1.34761410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221323693030456-0.221334039894257)×R²
    abs(0.81737208-0.81732414)×1.03468638014415e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03468638014415e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03468638014415e-05×40589641000000     		ar = 4569.47897649457m²