Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82585 / 20115
↖ ↑ ↗
← N 77.067110°
E 46.826477°		 ← 68.36 m → N 77.067110°
E 46.829224°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.066495°
E 46.826477°		 ← 68.36 m →
4 673 m²		 N 77.066495°
E 46.829224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630077362060547 y=0.153469085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630077362060547 × 217)
    floor (0.630077362060547 × 131072)
    floor (82585.5)     		tx = 82585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153469085693359 × 217)
    floor (0.153469085693359 × 131072)
    floor (20115.5)     		ty = 20115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82585 / 20115 ti = "17/82585/20115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82585/20115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82585 ÷ 217
    82585 ÷ 131072     		x = 0.630073547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20115 ÷ 217
    20115 ÷ 131072     		y = 0.153465270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630073547363281 × 2 - 1) × π
    0.260147094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81727620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153465270996094 × 2 - 1) × π
    0.693069458007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17734191764257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81727620} λ = 0.81727620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17734191764257))-π/2
    2×atan(8.82282327180916)-π/2
    2×1.45793556679637-π/2
    2.91587113359274-1.57079632675     		φ = 1.34507481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81727620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.826477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34507481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.067110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82585 KachelY 20115 0.81727620 1.34507481 46.826477 77.067110
    Oben rechts KachelX + 1 82586 KachelY 20115 0.81732414 1.34507481 46.829224 77.067110
    Unten links KachelX 82585 KachelY + 1 20116 0.81727620 1.34506408 46.826477 77.066495
    Unten rechts KachelX + 1 82586 KachelY + 1 20116 0.81732414 1.34506408 46.829224 77.066495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34507481-1.34506408) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dl = 68.360830000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34507481-1.34506408) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dr = 68.360830000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81727620-0.81732414) × cos(1.34507481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223809634317462 × 6371000     		do = 68.3572231804954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81727620-0.81732414) × cos(1.34506408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223820092115363 × 6371000     		du = 68.360417261158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34507481)-sin(1.34506408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223809634317462-0.223820092115363)×R²
    abs(0.81732414-0.81727620)×1.04577979007925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04577979007925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04577979007925e-05×40589641000000     		ar = 4673.06568830723m²