Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82583 / 14610
↖ ↑ ↗
← N 80.049510°
E 46.820984°		 ← 52.77 m → N 80.049510°
E 46.823730°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.049036°
E 46.820984°		 ← 52.77 m →
2 784 m²		 N 80.049036°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630062103271484 y=0.111469268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630062103271484 × 217)
    floor (0.630062103271484 × 131072)
    floor (82583.5)     		tx = 82583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111469268798828 × 217)
    floor (0.111469268798828 × 131072)
    floor (14610.5)     		ty = 14610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82583 / 14610 ti = "17/82583/14610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82583/14610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82583 ÷ 217
    82583 ÷ 131072     		x = 0.630058288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14610 ÷ 217
    14610 ÷ 131072     		y = 0.111465454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630058288574219 × 2 - 1) × π
    0.260116577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81718033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111465454101562 × 2 - 1) × π
    0.777069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44123455005098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81718033} λ = 0.81718033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44123455005098))-π/2
    2×atan(11.4872135325378)-π/2
    2×1.48396192362986-π/2
    2.96792384725973-1.57079632675     		φ = 1.39712752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81718033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.820984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39712752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.049510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82583 KachelY 14610 0.81718033 1.39712752 46.820984 80.049510
    Oben rechts KachelX + 1 82584 KachelY 14610 0.81722826 1.39712752 46.823730 80.049510
    Unten links KachelX 82583 KachelY + 1 14611 0.81718033 1.39711924 46.820984 80.049036
    Unten rechts KachelX + 1 82584 KachelY + 1 14611 0.81722826 1.39711924 46.823730 80.049036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39712752-1.39711924) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39712752-1.39711924) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81718033-0.81722826) × cos(1.39712752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172797122436932 × 6371000     		do = 52.7656800855323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81718033-0.81722826) × cos(1.39711924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172805277878594 × 6371000     		du = 52.7681704477538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39712752)-sin(1.39711924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172797122436932-0.172805277878594)×R²
    abs(0.81722826-0.81718033)×8.15544166224424e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.15544166224424e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.15544166224424e-06×40589641000000     		ar = 2783.55450967963m²