Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82581 / 20147
↖ ↑ ↗
← N 77.047424°
E 46.815490°		 ← 68.46 m → N 77.047424°
E 46.818237°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.046809°
E 46.815490°		 ← 68.46 m →
4 684 m²		 N 77.046809°
E 46.818237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630046844482422 y=0.153713226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630046844482422 × 217)
    floor (0.630046844482422 × 131072)
    floor (82581.5)     		tx = 82581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153713226318359 × 217)
    floor (0.153713226318359 × 131072)
    floor (20147.5)     		ty = 20147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82581 / 20147 ti = "17/82581/20147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82581/20147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82581 ÷ 217
    82581 ÷ 131072     		x = 0.630043029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20147 ÷ 217
    20147 ÷ 131072     		y = 0.153709411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630043029785156 × 2 - 1) × π
    0.260086059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81708445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153709411621094 × 2 - 1) × π
    0.692581176757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17580793685473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81708445} λ = 0.81708445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17580793685473))-π/2
    2×atan(8.80929960558963)-π/2
    2×1.45776377857221-π/2
    2.91552755714443-1.57079632675     		φ = 1.34473123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81708445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.815490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34473123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.047424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82581 KachelY 20147 0.81708445 1.34473123 46.815490 77.047424
    Oben rechts KachelX + 1 82582 KachelY 20147 0.81713239 1.34473123 46.818237 77.047424
    Unten links KachelX 82581 KachelY + 1 20148 0.81708445 1.34472049 46.815490 77.046809
    Unten rechts KachelX + 1 82582 KachelY + 1 20148 0.81713239 1.34472049 46.818237 77.046809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34473123-1.34472049) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34473123-1.34472049) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81708445-0.81713239) × cos(1.34473123) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22414448546517 × 6371000     		do = 68.4594953402323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81708445-0.81713239) × cos(1.34472049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224154952182869 × 6371000     		du = 68.4626921452312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34473123)-sin(1.34472049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22414448546517-0.224154952182869)×R²
    abs(0.81713239-0.81708445)×1.04667176997753e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04667176997753e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04667176997753e-05×40589641000000     		ar = 4684.41884727046m²