Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82581 / 14596
↖ ↑ ↗
← N 80.056153°
E 46.815490°		 ← 52.74 m → N 80.056153°
E 46.818237°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.055678°
E 46.815490°		 ← 52.74 m →
2 782 m²		 N 80.055678°
E 46.818237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630046844482422 y=0.111362457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630046844482422 × 217)
    floor (0.630046844482422 × 131072)
    floor (82581.5)     		tx = 82581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111362457275391 × 217)
    floor (0.111362457275391 × 131072)
    floor (14596.5)     		ty = 14596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82581 / 14596 ti = "17/82581/14596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82581/14596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82581 ÷ 217
    82581 ÷ 131072     		x = 0.630043029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14596 ÷ 217
    14596 ÷ 131072     		y = 0.111358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630043029785156 × 2 - 1) × π
    0.260086059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81708445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111358642578125 × 2 - 1) × π
    0.77728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44190566664566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81708445} λ = 0.81708445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44190566664566))-π/2
    2×atan(11.494925379651)-π/2
    2×1.48401988797783-π/2
    2.96803977595565-1.57079632675     		φ = 1.39724345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81708445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.815490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39724345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.056153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82581 KachelY 14596 0.81708445 1.39724345 46.815490 80.056153
    Oben rechts KachelX + 1 82582 KachelY 14596 0.81713239 1.39724345 46.818237 80.056153
    Unten links KachelX 82581 KachelY + 1 14597 0.81708445 1.39723517 46.815490 80.055678
    Unten rechts KachelX + 1 82582 KachelY + 1 14597 0.81713239 1.39723517 46.818237 80.055678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39724345-1.39723517) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39724345-1.39723517) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81708445-0.81713239) × cos(1.39724345) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172682935160235 × 6371000     		do = 52.7418132567744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81708445-0.81713239) × cos(1.39723517) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172691090767715 × 6371000     		du = 52.7443041892239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39724345)-sin(1.39723517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172682935160235-0.172691090767715)×R²
    abs(0.81713239-0.81708445)×8.15560747938204e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.15560747938204e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.15560747938204e-06×40589641000000     		ar = 2782.29550471114m²