Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8258 / 8374
↖ ↑ ↗
← N 78.981889°
W134.637451°		 ← 116.73 m → N 78.981889°
W134.631958°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
N 78.980839°
W134.637451°		 ← 116.74 m →
13 633 m²		 N 78.980839°
W134.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126014709472656 y=0.127784729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126014709472656 × 216)
    floor (0.126014709472656 × 65536)
    floor (8258.5)     		tx = 8258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127784729003906 × 216)
    floor (0.127784729003906 × 65536)
    floor (8374.5)     		ty = 8374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8258 / 8374 ti = "16/8258/8374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8258/8374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8258 ÷ 216
    8258 ÷ 65536     		x = 0.126007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8374 ÷ 216
    8374 ÷ 65536     		y = 0.127777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.74798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34986682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127777099609375 × 2 - 1) × π
    0.74444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3387454586633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34986682} λ = -2.34986682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3387454586633))-π/2
    2×atan(10.3682210383016)-π/2
    2×1.47464517281959-π/2
    2.94929034563919-1.57079632675     		φ = 1.37849402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34986682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37849402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.981889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8258 KachelY 8374 -2.34986682 1.37849402 -134.637451 78.981889
    Oben rechts KachelX + 1 8259 KachelY 8374 -2.34977095 1.37849402 -134.631958 78.981889
    Unten links KachelX 8258 KachelY + 1 8375 -2.34986682 1.37847569 -134.637451 78.980839
    Unten rechts KachelX + 1 8259 KachelY + 1 8375 -2.34977095 1.37847569 -134.631958 78.980839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37849402-1.37847569) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37849402-1.37847569) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34986682--2.34977095) × cos(1.37849402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191119267468217 × 6371000     		do = 116.733311180943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34986682--2.34977095) × cos(1.37847569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191137259555952 × 6371000     		du = 116.744300528088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37849402)-sin(1.37847569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191119267468217-0.191137259555952)×R²
    abs(-2.34977095--2.34986682)×1.79920877351747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79920877351747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79920877351747e-05×40589641000000     		ar = 13632.8079456501m²