Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82579 / 14898
↖ ↑ ↗
← N 79.911892°
E 46.809998°		 ← 53.50 m → N 79.911892°
E 46.812744°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.911410°
E 46.809998°		 ← 53.50 m →
2 863 m²		 N 79.911410°
E 46.812744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630031585693359 y=0.113666534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630031585693359 × 217)
    floor (0.630031585693359 × 131072)
    floor (82579.5)     		tx = 82579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113666534423828 × 217)
    floor (0.113666534423828 × 131072)
    floor (14898.5)     		ty = 14898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82579 / 14898 ti = "17/82579/14898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82579/14898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82579 ÷ 217
    82579 ÷ 131072     		x = 0.630027770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14898 ÷ 217
    14898 ÷ 131072     		y = 0.113662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630027770996094 × 2 - 1) × π
    0.260055541992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81698858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113662719726562 × 2 - 1) × π
    0.772674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4274287229604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81698858} λ = 0.81698858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4274287229604))-π/2
    2×atan(11.3297127645802)-π/2
    2×1.48276097433897-π/2
    2.96552194867795-1.57079632675     		φ = 1.39472562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81698858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.809998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39472562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.911892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82579 KachelY 14898 0.81698858 1.39472562 46.809998 79.911892
    Oben rechts KachelX + 1 82580 KachelY 14898 0.81703652 1.39472562 46.812744 79.911892
    Unten links KachelX 82579 KachelY + 1 14899 0.81698858 1.39471722 46.809998 79.911410
    Unten rechts KachelX + 1 82580 KachelY + 1 14899 0.81703652 1.39471722 46.812744 79.911410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39472562-1.39471722) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39472562-1.39471722) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81698858-0.81703652) × cos(1.39472562) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175162390988552 × 6371000     		do = 53.4991028879367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81698858-0.81703652) × cos(1.39471722) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175170661114641 × 6371000     		du = 53.5016287973171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39472562)-sin(1.39471722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175162390988552-0.175170661114641)×R²
    abs(0.81703652-0.81698858)×8.27012608828337e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.27012608828337e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.27012608828337e-06×40589641000000     		ar = 2863.146978705m²