Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82578 / 19871
↖ ↑ ↗
← N 77.216247°
E 46.807251°		 ← 67.58 m → N 77.216247°
E 46.809998°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.215639°
E 46.807251°		 ← 67.59 m →
4 568 m²		 N 77.215639°
E 46.809998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630023956298828 y=0.151607513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630023956298828 × 217)
    floor (0.630023956298828 × 131072)
    floor (82578.5)     		tx = 82578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151607513427734 × 217)
    floor (0.151607513427734 × 131072)
    floor (19871.5)     		ty = 19871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82578 / 19871 ti = "17/82578/19871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82578/19871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82578 ÷ 217
    82578 ÷ 131072     		x = 0.630020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19871 ÷ 217
    19871 ÷ 131072     		y = 0.151603698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630020141601562 × 2 - 1) × π
    0.260040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81694064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151603698730469 × 2 - 1) × π
    0.696792602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.18903852114986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81694064} λ = 0.81694064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18903852114986))-π/2
    2×atan(8.92662622498544)-π/2
    2×1.45923703919068-π/2
    2.91847407838136-1.57079632675     		φ = 1.34767775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81694064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.807251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34767775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.216247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82578 KachelY 19871 0.81694064 1.34767775 46.807251 77.216247
    Oben rechts KachelX + 1 82579 KachelY 19871 0.81698858 1.34767775 46.809998 77.216247
    Unten links KachelX 82578 KachelY + 1 19872 0.81694064 1.34766714 46.807251 77.215639
    Unten rechts KachelX + 1 82579 KachelY + 1 19872 0.81698858 1.34766714 46.809998 77.215639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34767775-1.34766714) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dl = 67.5963099994328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34767775-1.34766714) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dr = 67.5963099994328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81694064-0.81698858) × cos(1.34767775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221271968089871 × 6371000     		do = 67.5821545950609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81694064-0.81698858) × cos(1.34766714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221282315078211 × 6371000     		du = 67.5853148316315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34767775)-sin(1.34766714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221271968089871-0.221282315078211)×R²
    abs(0.81698858-0.81694064)×1.03469883404594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03469883404594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03469883404594e-05×40589641000000     		ar = 4568.41108251629m²