Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82578 / 14899
↖ ↑ ↗
← N 79.911410°
E 46.807251°		 ← 53.50 m → N 79.911410°
E 46.809998°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.910930°
E 46.807251°		 ← 53.50 m →
2 860 m²		 N 79.910930°
E 46.809998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630023956298828 y=0.113674163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630023956298828 × 217)
    floor (0.630023956298828 × 131072)
    floor (82578.5)     		tx = 82578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113674163818359 × 217)
    floor (0.113674163818359 × 131072)
    floor (14899.5)     		ty = 14899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82578 / 14899 ti = "17/82578/14899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82578/14899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82578 ÷ 217
    82578 ÷ 131072     		x = 0.630020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14899 ÷ 217
    14899 ÷ 131072     		y = 0.113670349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630020141601562 × 2 - 1) × π
    0.260040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81694064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113670349121094 × 2 - 1) × π
    0.772659301757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.42738078606078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81694064} λ = 0.81694064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42738078606078))-π/2
    2×atan(11.329169666294)-π/2
    2×1.48275677586897-π/2
    2.96551355173793-1.57079632675     		φ = 1.39471722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81694064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.807251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39471722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.911410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82578 KachelY 14899 0.81694064 1.39471722 46.807251 79.911410
    Oben rechts KachelX + 1 82579 KachelY 14899 0.81698858 1.39471722 46.809998 79.911410
    Unten links KachelX 82578 KachelY + 1 14900 0.81694064 1.39470883 46.807251 79.910930
    Unten rechts KachelX + 1 82579 KachelY + 1 14900 0.81698858 1.39470883 46.809998 79.910930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39471722-1.39470883) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39471722-1.39470883) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81694064-0.81698858) × cos(1.39471722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175170661114641 × 6371000     		do = 53.5016287971932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81694064-0.81698858) × cos(1.39470883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175178921383003 × 6371000     		du = 53.5041516957703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39471722)-sin(1.39470883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175170661114641-0.175178921383003)×R²
    abs(0.81698858-0.81694064)×8.26026836214799e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.26026836214799e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.26026836214799e-06×40589641000000     		ar = 2859.87340652076m²