Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82575 / 15979
↖ ↑ ↗
← N 79.378337°
E 46.799011°		 ← 56.30 m → N 79.378337°
E 46.801758°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.377831°
E 46.799011°		 ← 56.30 m →
3 167 m²		 N 79.377831°
E 46.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630001068115234 y=0.121913909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630001068115234 × 217)
    floor (0.630001068115234 × 131072)
    floor (82575.5)     		tx = 82575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121913909912109 × 217)
    floor (0.121913909912109 × 131072)
    floor (15979.5)     		ty = 15979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82575 / 15979 ti = "17/82575/15979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82575/15979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82575 ÷ 217
    82575 ÷ 131072     		x = 0.629997253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15979 ÷ 217
    15979 ÷ 131072     		y = 0.121910095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629997253417969 × 2 - 1) × π
    0.259994506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81679683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121910095214844 × 2 - 1) × π
    0.756179809570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.37560893447112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81679683} λ = 0.81679683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37560893447112))-π/2
    2×atan(10.7575618422537)-π/2
    2×1.47810483510946-π/2
    2.95620967021892-1.57079632675     		φ = 1.38541334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81679683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.799011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38541334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.378337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82575 KachelY 15979 0.81679683 1.38541334 46.799011 79.378337
    Oben rechts KachelX + 1 82576 KachelY 15979 0.81684477 1.38541334 46.801758 79.378337
    Unten links KachelX 82575 KachelY + 1 15980 0.81679683 1.38540451 46.799011 79.377831
    Unten rechts KachelX + 1 82576 KachelY + 1 15980 0.81684477 1.38540451 46.801758 79.377831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38541334-1.38540451) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dl = 56.2559299990359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38541334-1.38540451) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dr = 56.2559299990359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81679683-0.81684477) × cos(1.38541334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184322971632519 × 6371000     		do = 56.2969800098242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81679683-0.81684477) × cos(1.38540451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184331650329724 × 6371000     		du = 56.2996307073403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38541334)-sin(1.38540451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184322971632519-0.184331650329724)×R²
    abs(0.81684477-0.81679683)×8.67869720505565e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.67869720505565e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.67869720505565e-06×40589641000000     		ar = 3167.1135254139m²