Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82573 / 14581
↖ ↑ ↗
← N 80.063264°
E 46.793518°		 ← 52.70 m → N 80.063264°
E 46.796265°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.062790°
E 46.793518°		 ← 52.71 m →
2 777 m²		 N 80.062790°
E 46.796265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629985809326172 y=0.111248016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629985809326172 × 217)
    floor (0.629985809326172 × 131072)
    floor (82573.5)     		tx = 82573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111248016357422 × 217)
    floor (0.111248016357422 × 131072)
    floor (14581.5)     		ty = 14581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82573 / 14581 ti = "17/82573/14581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82573/14581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82573 ÷ 217
    82573 ÷ 131072     		x = 0.629981994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14581 ÷ 217
    14581 ÷ 131072     		y = 0.111244201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629981994628906 × 2 - 1) × π
    0.259963989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81670096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111244201660156 × 2 - 1) × π
    0.777511596679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.44262472013996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81670096} λ = 0.81670096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44262472013996))-π/2
    2×atan(11.5031938182805)-π/2
    2×1.48408195013153-π/2
    2.96816390026306-1.57079632675     		φ = 1.39736757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81670096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.793518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39736757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.063264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82573 KachelY 14581 0.81670096 1.39736757 46.793518 80.063264
    Oben rechts KachelX + 1 82574 KachelY 14581 0.81674890 1.39736757 46.796265 80.063264
    Unten links KachelX 82573 KachelY + 1 14582 0.81670096 1.39735930 46.793518 80.062790
    Unten rechts KachelX + 1 82574 KachelY + 1 14582 0.81674890 1.39735930 46.796265 80.062790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39736757-1.39735930) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39736757-1.39735930) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81670096-0.81674890) × cos(1.39736757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172560678427603 × 6371000     		do = 52.7044729036182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81670096-0.81674890) × cos(1.39735930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172568824362518 × 6371000     		du = 52.7069608818176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39736757)-sin(1.39735930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172560678427603-0.172568824362518)×R²
    abs(0.81674890-0.81670096)×8.14593491479942e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.14593491479942e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.14593491479942e-06×40589641000000     		ar = 2776.96777154529m²