Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82572 / 18996
↖ ↑ ↗
← N 77.737285°
E 46.790771°		 ← 64.87 m → N 77.737285°
E 46.793518°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.736701°
E 46.790771°		 ← 64.87 m →
4 207 m²		 N 77.736701°
E 46.793518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629978179931641 y=0.144931793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629978179931641 × 217)
    floor (0.629978179931641 × 131072)
    floor (82572.5)     		tx = 82572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144931793212891 × 217)
    floor (0.144931793212891 × 131072)
    floor (18996.5)     		ty = 18996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82572 / 18996 ti = "17/82572/18996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82572/18996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82572 ÷ 217
    82572 ÷ 131072     		x = 0.629974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18996 ÷ 217
    18996 ÷ 131072     		y = 0.144927978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629974365234375 × 2 - 1) × π
    0.25994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81665302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144927978515625 × 2 - 1) × π
    0.71014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23098330831741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81665302} λ = 0.81665302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23098330831741))-π/2
    2×atan(9.30901521262254)-π/2
    2×1.46378394756889-π/2
    2.92756789513777-1.57079632675     		φ = 1.35677157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81665302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.790771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35677157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.737285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82572 KachelY 18996 0.81665302 1.35677157 46.790771 77.737285
    Oben rechts KachelX + 1 82573 KachelY 18996 0.81670096 1.35677157 46.793518 77.737285
    Unten links KachelX 82572 KachelY + 1 18997 0.81665302 1.35676139 46.790771 77.736701
    Unten rechts KachelX + 1 82573 KachelY + 1 18997 0.81670096 1.35676139 46.793518 77.736701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35677157-1.35676139) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35677157-1.35676139) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81665302-0.81670096) × cos(1.35677157) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212394537404531 × 6371000     		do = 64.8707587588442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81665302-0.81670096) × cos(1.35676139) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212404485126596 × 6371000     		du = 64.8737970492174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35677157)-sin(1.35676139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212394537404531-0.212404485126596)×R²
    abs(0.81670096-0.81665302)×9.94772206558414e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.94772206558414e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.94772206558414e-06×40589641000000     		ar = 4207.40705626976m²