Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82568 / 19880
↖ ↑ ↗
← N 77.210777°
E 46.779785°		 ← 67.61 m → N 77.210777°
E 46.782532°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.210169°
E 46.779785°		 ← 67.61 m →
4 570 m²		 N 77.210169°
E 46.782532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629947662353516 y=0.151676177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629947662353516 × 217)
    floor (0.629947662353516 × 131072)
    floor (82568.5)     		tx = 82568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151676177978516 × 217)
    floor (0.151676177978516 × 131072)
    floor (19880.5)     		ty = 19880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82568 / 19880 ti = "17/82568/19880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82568/19880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82568 ÷ 217
    82568 ÷ 131072     		x = 0.62994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19880 ÷ 217
    19880 ÷ 131072     		y = 0.15167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62994384765625 × 2 - 1) × π
    0.2598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81646127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15167236328125 × 2 - 1) × π
    0.6966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18860708905328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81646127} λ = 0.81646127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18860708905328))-π/2
    2×atan(8.92277582257112)-π/2
    2×1.45918929723381-π/2
    2.91837859446763-1.57079632675     		φ = 1.34758227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81646127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34758227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.210777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82568 KachelY 19880 0.81646127 1.34758227 46.779785 77.210777
    Oben rechts KachelX + 1 82569 KachelY 19880 0.81650921 1.34758227 46.782532 77.210777
    Unten links KachelX 82568 KachelY + 1 19881 0.81646127 1.34757166 46.779785 77.210169
    Unten rechts KachelX + 1 82569 KachelY + 1 19881 0.81650921 1.34757166 46.782532 77.210169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34758227-1.34757166) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dl = 67.5963099994328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34758227-1.34757166) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dr = 67.5963099994328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81646127-0.81650921) × cos(1.34758227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22136508033616 × 6371000     		do = 67.6105934717867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81646127-0.81650921) × cos(1.34757166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22137542710029 × 6371000     		du = 67.6137536398778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34758227)-sin(1.34757166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22136508033616-0.22137542710029)×R²
    abs(0.81650921-0.81646127)×1.03467641300592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03467641300592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03467641300592e-05×40589641000000     		ar = 4570.33344333353m²