Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82568 / 14664
↖ ↑ ↗
← N 80.023849°
E 46.779785°		 ← 52.91 m → N 80.023849°
E 46.782532°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.023373°
E 46.779785°		 ← 52.91 m →
2 801 m²		 N 80.023373°
E 46.782532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629947662353516 y=0.111881256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629947662353516 × 217)
    floor (0.629947662353516 × 131072)
    floor (82568.5)     		tx = 82568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111881256103516 × 217)
    floor (0.111881256103516 × 131072)
    floor (14664.5)     		ty = 14664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82568 / 14664 ti = "17/82568/14664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82568/14664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82568 ÷ 217
    82568 ÷ 131072     		x = 0.62994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14664 ÷ 217
    14664 ÷ 131072     		y = 0.11187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62994384765625 × 2 - 1) × π
    0.2598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81646127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11187744140625 × 2 - 1) × π
    0.7762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4386459574715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81646127} λ = 0.81646127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4386459574715))-π/2
    2×atan(11.4575162704676)-π/2
    2×1.48373798760516-π/2
    2.96747597521031-1.57079632675     		φ = 1.39667965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81646127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39667965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.023849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82568 KachelY 14664 0.81646127 1.39667965 46.779785 80.023849
    Oben rechts KachelX + 1 82569 KachelY 14664 0.81650921 1.39667965 46.782532 80.023849
    Unten links KachelX 82568 KachelY + 1 14665 0.81646127 1.39667134 46.779785 80.023373
    Unten rechts KachelX + 1 82569 KachelY + 1 14665 0.81650921 1.39667134 46.782532 80.023373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39667965-1.39667134) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39667965-1.39667134) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81646127-0.81650921) × cos(1.39667965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173238237979423 × 6371000     		do = 52.9114170311265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81646127-0.81650921) × cos(1.39667134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173246422325813 × 6371000     		du = 52.9139167411792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39667965)-sin(1.39667134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173238237979423-0.173246422325813)×R²
    abs(0.81650921-0.81646127)×8.18434639024423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.18434639024423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.18434639024423e-06×40589641000000     		ar = 2801.35585201448m²