Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82566 / 14589
↖ ↑ ↗
← N 80.059472°
E 46.774292°		 ← 52.72 m → N 80.059472°
E 46.777039°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.058998°
E 46.774292°		 ← 52.73 m →
2 778 m²		 N 80.058998°
E 46.777039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629932403564453 y=0.111309051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629932403564453 × 217)
    floor (0.629932403564453 × 131072)
    floor (82566.5)     		tx = 82566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111309051513672 × 217)
    floor (0.111309051513672 × 131072)
    floor (14589.5)     		ty = 14589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82566 / 14589 ti = "17/82566/14589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82566/14589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82566 ÷ 217
    82566 ÷ 131072     		x = 0.629928588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14589 ÷ 217
    14589 ÷ 131072     		y = 0.111305236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629928588867188 × 2 - 1) × π
    0.259857177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81636540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111305236816406 × 2 - 1) × π
    0.777389526367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.442241224943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81636540} λ = 0.81636540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.442241224943))-π/2
    2×atan(11.4987832444725)-π/2
    2×1.48404885578635-π/2
    2.96809771157271-1.57079632675     		φ = 1.39730138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81636540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.774292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39730138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.059472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82566 KachelY 14589 0.81636540 1.39730138 46.774292 80.059472
    Oben rechts KachelX + 1 82567 KachelY 14589 0.81641334 1.39730138 46.777039 80.059472
    Unten links KachelX 82566 KachelY + 1 14590 0.81636540 1.39729311 46.774292 80.058998
    Unten rechts KachelX + 1 82567 KachelY + 1 14590 0.81641334 1.39729311 46.777039 80.058998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39730138-1.39729311) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39730138-1.39729311) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81636540-0.81641334) × cos(1.39730138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172625875126046 × 6371000     		do = 52.7243856534855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81636540-0.81641334) × cos(1.39729311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172634020966482 × 6371000     		du = 52.7268736028288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39730138)-sin(1.39729311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172625875126046-0.172634020966482)×R²
    abs(0.81641334-0.81636540)×8.14584043673516e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.14584043673516e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.14584043673516e-06×40589641000000     		ar = 2778.01693726131m²