Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82565 / 14591
↖ ↑ ↗
← N 80.058524°
E 46.771545°		 ← 52.73 m → N 80.058524°
E 46.774292°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.058050°
E 46.771545°		 ← 52.73 m →
2 778 m²		 N 80.058050°
E 46.774292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629924774169922 y=0.111324310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629924774169922 × 217)
    floor (0.629924774169922 × 131072)
    floor (82565.5)     		tx = 82565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111324310302734 × 217)
    floor (0.111324310302734 × 131072)
    floor (14591.5)     		ty = 14591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82565 / 14591 ti = "17/82565/14591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82565/14591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82565 ÷ 217
    82565 ÷ 131072     		x = 0.629920959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14591 ÷ 217
    14591 ÷ 131072     		y = 0.111320495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629920959472656 × 2 - 1) × π
    0.259841918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81631746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111320495605469 × 2 - 1) × π
    0.777359008789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.44214535114376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81631746} λ = 0.81631746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44214535114376))-π/2
    2×atan(11.4976808652817)-π/2
    2×1.48404058024659-π/2
    2.96808116049318-1.57079632675     		φ = 1.39728483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81631746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.771545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39728483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82565 KachelY 14591 0.81631746 1.39728483 46.771545 80.058524
    Oben rechts KachelX + 1 82566 KachelY 14591 0.81636540 1.39728483 46.774292 80.058524
    Unten links KachelX 82565 KachelY + 1 14592 0.81631746 1.39727656 46.771545 80.058050
    Unten rechts KachelX + 1 82566 KachelY + 1 14592 0.81636540 1.39727656 46.774292 80.058050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39728483-1.39727656) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39728483-1.39727656) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81631746-0.81636540) × cos(1.39728483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172642176644958 × 6371000     		do = 52.7293645569624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81631746-0.81636540) × cos(1.39727656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172650322461766 × 6371000     		du = 52.7318524990889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39728483)-sin(1.39727656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172642176644958-0.172650322461766)×R²
    abs(0.81636540-0.81631746)×8.14581680799731e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.14581680799731e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.14581680799731e-06×40589641000000     		ar = 2778.27926644237m²