Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82563 / 14595
↖ ↑ ↗
← N 80.056627°
E 46.766052°		 ← 52.74 m → N 80.056627°
E 46.768799°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.056153°
E 46.766052°		 ← 52.74 m →
2 782 m²		 N 80.056153°
E 46.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629909515380859 y=0.111354827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629909515380859 × 217)
    floor (0.629909515380859 × 131072)
    floor (82563.5)     		tx = 82563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111354827880859 × 217)
    floor (0.111354827880859 × 131072)
    floor (14595.5)     		ty = 14595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82563 / 14595 ti = "17/82563/14595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82563/14595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82563 ÷ 217
    82563 ÷ 131072     		x = 0.629905700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14595 ÷ 217
    14595 ÷ 131072     		y = 0.111351013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629905700683594 × 2 - 1) × π
    0.259811401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81622159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111351013183594 × 2 - 1) × π
    0.777297973632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.44195360354528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81622159} λ = 0.81622159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44195360354528))-π/2
    2×atan(11.4954764239426)-π/2
    2×1.4840240268224-π/2
    2.9680480536448-1.57079632675     		φ = 1.39725173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81622159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.766052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39725173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.056627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82563 KachelY 14595 0.81622159 1.39725173 46.766052 80.056627
    Oben rechts KachelX + 1 82564 KachelY 14595 0.81626953 1.39725173 46.768799 80.056627
    Unten links KachelX 82563 KachelY + 1 14596 0.81622159 1.39724345 46.766052 80.056153
    Unten rechts KachelX + 1 82564 KachelY + 1 14596 0.81626953 1.39724345 46.768799 80.056153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39725173-1.39724345) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dl = 52.7518800005267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39725173-1.39724345) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dr = 52.7518800005267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81622159-0.81626953) × cos(1.39725173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172674779540917 × 6371000     		do = 52.7393223205868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81622159-0.81626953) × cos(1.39724345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172682935160235 × 6371000     		du = 52.7418132566523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39725173)-sin(1.39724345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172674779540917-0.172682935160235)×R²
    abs(0.81626953-0.81622159)×8.15561931846731e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15561931846731e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15561931846731e-06×40589641000000     		ar = 2782.16410312412m²