Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82562 / 17537
↖ ↑ ↗
← N 78.559943°
E 46.763305°		 ← 60.58 m → N 78.559943°
E 46.766052°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.559399°
E 46.763305°		 ← 60.58 m →
3 667 m²		 N 78.559399°
E 46.766052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629901885986328 y=0.133800506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629901885986328 × 217)
    floor (0.629901885986328 × 131072)
    floor (82562.5)     		tx = 82562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133800506591797 × 217)
    floor (0.133800506591797 × 131072)
    floor (17537.5)     		ty = 17537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82562 / 17537 ti = "17/82562/17537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82562/17537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82562 ÷ 217
    82562 ÷ 131072     		x = 0.629898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17537 ÷ 217
    17537 ÷ 131072     		y = 0.133796691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629898071289062 × 2 - 1) × π
    0.259796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81617365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133796691894531 × 2 - 1) × π
    0.732406616210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30092324486308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81617365} λ = 0.81617365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30092324486308))-π/2
    2×atan(9.98339531974021)-π/2
    2×1.47096300080257-π/2
    2.94192600160513-1.57079632675     		φ = 1.37112967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81617365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.763305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37112967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.559943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82562 KachelY 17537 0.81617365 1.37112967 46.763305 78.559943
    Oben rechts KachelX + 1 82563 KachelY 17537 0.81622159 1.37112967 46.766052 78.559943
    Unten links KachelX 82562 KachelY + 1 17538 0.81617365 1.37112017 46.763305 78.559399
    Unten rechts KachelX + 1 82563 KachelY + 1 17538 0.81622159 1.37112017 46.766052 78.559399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37112967-1.37112017) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37112967-1.37112017) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81617365-0.81622159) × cos(1.37112967) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.198342621229001 × 6371000     		do = 60.5789418625078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81617365-0.81622159) × cos(1.37112017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.198351932481161 × 6371000     		du = 60.5817857585891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37112967)-sin(1.37112017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198342621229001-0.198351932481161)×R²
    abs(0.81622159-0.81617365)×9.31125215999917e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.31125215999917e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.31125215999917e-06×40589641000000     		ar = 3666.59622954759m²