Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82559 / 14554
↖ ↑ ↗
← N 80.076053°
E 46.755066°		 ← 52.64 m → N 80.076053°
E 46.757813°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.075579°
E 46.755066°		 ← 52.64 m →
2 773 m²		 N 80.075579°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629878997802734 y=0.111042022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629878997802734 × 217)
    floor (0.629878997802734 × 131072)
    floor (82559.5)     		tx = 82559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111042022705078 × 217)
    floor (0.111042022705078 × 131072)
    floor (14554.5)     		ty = 14554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82559 / 14554 ti = "17/82559/14554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82559/14554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82559 ÷ 217
    82559 ÷ 131072     		x = 0.629875183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14554 ÷ 217
    14554 ÷ 131072     		y = 0.111038208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629875183105469 × 2 - 1) × π
    0.259750366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81602984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111038208007812 × 2 - 1) × π
    0.777923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4439190164297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81602984} λ = 0.81602984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4439190164297))-π/2
    2×atan(11.5180919986097)-π/2
    2×1.48419355129713-π/2
    2.96838710259426-1.57079632675     		φ = 1.39759078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81602984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.755066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39759078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.076053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82559 KachelY 14554 0.81602984 1.39759078 46.755066 80.076053
    Oben rechts KachelX + 1 82560 KachelY 14554 0.81607778 1.39759078 46.757813 80.076053
    Unten links KachelX 82559 KachelY + 1 14555 0.81602984 1.39758251 46.755066 80.075579
    Unten rechts KachelX + 1 82560 KachelY + 1 14555 0.81607778 1.39758251 46.757813 80.075579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39759078-1.39758251) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39759078-1.39758251) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81602984-0.81607778) × cos(1.39759078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17234081252859 × 6371000     		do = 52.6373201987114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81602984-0.81607778) × cos(1.39758251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172348958781847 × 6371000     		du = 52.6398082741408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39759078)-sin(1.39758251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17234081252859-0.172348958781847)×R²
    abs(0.81607778-0.81602984)×8.1462532574017e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.1462532574017e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.1462532574017e-06×40589641000000     		ar = 2773.42962104959m²