Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82558 / 14556
↖ ↑ ↗
← N 80.075106°
E 46.752320°		 ← 52.63 m → N 80.075106°
E 46.755066°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.074633°
E 46.752320°		 ← 52.63 m →
2 770 m²		 N 80.074633°
E 46.755066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629871368408203 y=0.111057281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629871368408203 × 217)
    floor (0.629871368408203 × 131072)
    floor (82558.5)     		tx = 82558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111057281494141 × 217)
    floor (0.111057281494141 × 131072)
    floor (14556.5)     		ty = 14556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82558 / 14556 ti = "17/82558/14556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82558/14556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82558 ÷ 217
    82558 ÷ 131072     		x = 0.629867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14556 ÷ 217
    14556 ÷ 131072     		y = 0.111053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629867553710938 × 2 - 1) × π
    0.259735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81598191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111053466796875 × 2 - 1) × π
    0.77789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44382314263046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81598191} λ = 0.81598191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44382314263046))-π/2
    2×atan(11.516987768304)-π/2
    2×1.48418528942258-π/2
    2.96837057884516-1.57079632675     		φ = 1.39757425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81598191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.752320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39757425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.075106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82558 KachelY 14556 0.81598191 1.39757425 46.752320 80.075106
    Oben rechts KachelX + 1 82559 KachelY 14556 0.81602984 1.39757425 46.755066 80.075106
    Unten links KachelX 82558 KachelY + 1 14557 0.81598191 1.39756599 46.752320 80.074633
    Unten rechts KachelX + 1 82559 KachelY + 1 14557 0.81602984 1.39756599 46.755066 80.074633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39757425-1.39756599) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39757425-1.39756599) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81598191-0.81602984) × cos(1.39757425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172357095172972 × 6371000     		do = 52.6313124669541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81598191-0.81602984) × cos(1.39756599) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172365231552337 × 6371000     		du = 52.6337970082739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39757425)-sin(1.39756599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172357095172972-0.172365231552337)×R²
    abs(0.81602984-0.81598191)×8.1363793649758e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.1363793649758e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.1363793649758e-06×40589641000000     		ar = 2769.7597716041m²