Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82557 / 20194
↖ ↑ ↗
← N 77.018458°
E 46.749573°		 ← 68.61 m → N 77.018458°
E 46.752320°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.017841°
E 46.749573°		 ← 68.61 m →
4 708 m²		 N 77.017841°
E 46.752320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629863739013672 y=0.154071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629863739013672 × 217)
    floor (0.629863739013672 × 131072)
    floor (82557.5)     		tx = 82557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154071807861328 × 217)
    floor (0.154071807861328 × 131072)
    floor (20194.5)     		ty = 20194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82557 / 20194 ti = "17/82557/20194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82557/20194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82557 ÷ 217
    82557 ÷ 131072     		x = 0.629859924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20194 ÷ 217
    20194 ÷ 131072     		y = 0.154067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629859924316406 × 2 - 1) × π
    0.259719848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81593397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154067993164062 × 2 - 1) × π
    0.691864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17355490257259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81593397} λ = 0.81593397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17355490257259))-π/2
    2×atan(8.78947429351683)-π/2
    2×1.45751099856442-π/2
    2.91502199712884-1.57079632675     		φ = 1.34422567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81593397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.749573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34422567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.018458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82557 KachelY 20194 0.81593397 1.34422567 46.749573 77.018458
    Oben rechts KachelX + 1 82558 KachelY 20194 0.81598191 1.34422567 46.752320 77.018458
    Unten links KachelX 82557 KachelY + 1 20195 0.81593397 1.34421490 46.749573 77.017841
    Unten rechts KachelX + 1 82558 KachelY + 1 20195 0.81598191 1.34421490 46.752320 77.017841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34422567-1.34421490) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dl = 68.6156699988962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34422567-1.34421490) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dr = 68.6156699988962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81593397-0.81598191) × cos(1.34422567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224637153292637 × 6371000     		do = 68.609968775852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81593397-0.81598191) × cos(1.34421490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224647648025132 × 6371000     		du = 68.6131741372904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34422567)-sin(1.34421490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224637153292637-0.224647648025132)×R²
    abs(0.81598191-0.81593397)×1.04947324950644e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04947324950644e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04947324950644e-05×40589641000000     		ar = 4707.82894522311m²